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Die Grundidee der Differentialrechnung ist die Untersuchung des Veränderungsverhaltens einer Funktion: Wie stark steigt/fällt ein Funktionsgraf, wo ist ein Maximum oder ein Minimum, wo liegt eine Trendwende vor?

Gemessen wird der Grad der Veränderung mit Hilfe der Steigung der Tangente an einer bestimmten Stelle der Funktion x_o. Steigt die Funktion in einem Bereich stärker/schwächer, ist die Tangentensteigung dort größer/kleiner. Fällt eine Funktion (gelesen von inks nach rechts), dann sind die Tangentensteigungen negativ.

Wir könnten jetzt für jeden Punkt einer Funktion die Tangentensteigung ermitteln: Die einzelnen Tangentensteigungen zeichnen wir in das Diagramm, sie liegen auf einer Funktion, der Tangentensteigungsfunktion. Diese Funktion nennt man 1. Ableitung von f(x): f'(x). Die 1. Ableitung repräsentiert also die Tangentensteigungen von f(x) in jedem Punkt.

Die erste Ableitung als Tangentensteigungsfunktion

Kommentar zur Abbildung

• An der Stelle x=1 wird im Punkt A auf der Funktion die Tangente an die Funktion f (rot) gebildet, diese hat die Steigung -1.35.
• Dieser Wert wird an der x-Stelle 1 als y-Wert einer neuen Funktion, der Tangentensteigungsfunktion bzw. ersten Ableitung von f, aufgetragen (Punkt B).
• Ermittelt man jetzt mehrere solcher Tangentensteigungen für andere x-Stellen, so liegen die Steigungen auf der ersten Ableitung (blau).