Taylorpolynome: Simulation (2)
gedruckt am 23. Apr. 2024
Dieses dynamische Arbeitsblatt gibt Auskunft über die Qualität der Näherung, wenn die einzelnen Ableitungen (Glieder der Taylorreihe) unterschiedlich gewichtet werden. Es läßt sich grafisch nachvollziehen, dass die Gewichtungsfaktoren der einzelnen Ableitungen tatsächlich eine optimale Näherungen ergeben und wie fein sich unterschiedliche Gewichtungen der Faktoren auf die Näherungsqualität auswirken.
Näherungsqualität für die Exponentialfunktion
In der Startansicht sieht man die Funktion f(x) = ex bzw. exp(x) und die zweite Taylornäherung im Entwicklungspunkt x0 = 0. Der Entwicklungspunkt kann hier nicht verändert werden.
Die Schieberegler ermöglichen es, das dritte bis fünfte Taylorglied zu gewichten. Als Faktoren der Gewichtung kann man jeweils zwischen 0 und 2 wählen. Das Taylorglied ist untergewichtet, wenn der Faktor kleiner als 1 ist, übergewichtet wenn größer als 1.
Erstellt mit GeoGebra
Arbeitsanleitungen
- Verändere den Faktor a3 mit a4=0 und a5=0 und beobachte die Auswirkung auf die Näherungsqualität der lila Kurve (in diesem Fall: dritte Näherung)
- Setze den Faktor a3 auf 1, das ist die optimale dritte Taylornäherung und verändere den Faktor a4, während a5=0 bleibt.
- Setze den Faktor a4 ebenfalls auf 1, das ist die optimale vierte Taylornäherung und verändere den Faktor a5.
Näherungsqualität für die Sinusfunktion
Ähnliche Simulationen können mit der Sinusfunktion im folgenden Arbeitsblatt ausgeführt werden. Hier geht es um die Gewichtung der dritten, fünften und siebenten Ableitung. Im Startbild ist die lila Funktion die erste Näherung (Linearisierung).
Erstellt mit GeoGebra
2. Platz für eContent für eLearning in der Kategorie Sekundarstufe II am 10.11.2014 in Wien gemeinsam mit Mag. Hannes Mitterlehner (Mitte) für das Projekt 