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Artikel der Kategorie »Differentialrechnung«

Taylorpolynome: Simulation 2

07. Apr. 2008 Von: Johann Moser Kategorie: Differentialrechnung Keine Kommentare →

https://www.jomo.org/index.php/taylorpolynome-simulation-2
gedruckt am 15. Dec. 2018

Dieses dynamische Arbeitsblatt gibt Auskunft über die Qualität der Näherung, wenn die einzelnen Ableitungen (Glieder der Taylorreihe) unterschiedlich gewichtet werden. Es läßt sich grafisch nachvollziehen, dass die Gewichtungsfaktoren der einzelnen Ableitungen tatsächlich eine optimale Näherungen ergeben und wie fein sich unterschiedliche Gewichtungen der Faktoren auf die Näherungsqualität auswirken.

Näherungsqualität für die Exponentialfunktion

In der Startansicht sieht man die Funktion f(x) = ex bzw. exp(x) und die zweite Taylornäherung im Entwicklungspunkt x0 = 0. Der Entwicklungspunkt kann hier nicht verändert werden.

Die Schieberegler ermöglichen es, das dritte bis fünfte Taylorglied zu gewichten. Die für die Taylorentwicklung richtige Gewichtung wird mit einem Faktor zwischen 0 und 2 multipliziert, und das Taylorglied ist untergewichtet, wenn der Faktor kleiner als 1 ist, übergewichtet wenn größer als 1.

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Erstellt mit GeoGebra

Arbeitsanleitungen

  • Verändere den Faktor a3 mit a4=0 und a5=0 und beobachte die Auswirkung auf die Näherungsqualität der lila Kurve (in diesem Fall: dritte Näherung)
  • Setze den Faktor a3 auf 1, das ist die optimale dritte Taylornäherung und verändere den Faktor a4, während a5=0 bleibt.
  • Setze den Faktor a4 ebenfalls auf 1, das ist die optimale vierte Taylornäherung und verändere den Faktor a5.

Näherungsqualität für die Sinusfunktion

Ähnliche Simulationen können mit der Sinusfunktion im folgenden Arbeitsblatt ausgeführt werden. Hier geht es um die Gewichtung der dritten, fünften und siebenten Ableitung. Im Startbild ist die lila Funktion die erste Näherung (Linearisierung).

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