jomo.org

aus dem Unterricht von Johann Moser: Realtime Processing und Mathematik
Subscribe

Artikel der Kategorie »Exponentielle Vorgänge«

Lernziele zur Vertiefung der Exponentialfunktion

10. Nov. 2006 Von: Johann Moser Kategorie: Exponentielle Vorgänge Keine Kommentare →

https://www.jomo.org/index.php/lernziele-zur-vertiefung-der-exponentialfunktion
gedruckt am 21. Sep. 2019

Lernziele Vertiefung der Exponentialfunktion

Das allgemeine Bildungsgesetz (Funktionsterm) kann auch anders ausgedrückt werden:

1: N(t) = N0at
2: N(t) = N0eλt
3: N(t) = N010kt bzw. N(t) = 10kt+d
Die drei Varianten des Bildungsgesetzes haben jeweils ihre Berechtigung:

Fall 1 gibt in Faktor a an, auf wie viel Prozent der Anfangsbestand in einer Einheit gestiegen/gefallen ist. Der Faktor a ist zwischen 0 und 1 (Abnahme) oder größer als 1 (Wachstum).

Fall 2 gibt mit dem Faktor λ das momentane Wachstum in Prozent an. Der Faktor λ ist negativ (Abnahme) oder positiv (Wachstum). Die Bedeutung der Basis e wird aber erst beim Kapitel Differentialrechnung transparent.

Fall 3 zeigt im Exponenten den Term einer linearen Funktion und ist für die grafische Darstellung von Exponentialfunktionen von Bedeutung. Da die Exponentialfunktionen sehr stark steigen (oder fallen), können bei der herkömmlichen Darstellung im Bereich kleiner t und großer t nicht gleichzeitig sinnvoll Daten verglichen werden. Skaliert man nun die y-Werte statt 0, 1, 2, 3 mit 100, 101, 102, (weil y = 10kt+d), so kann man die Exponentialfunktion grafisch mit Hilfe der Geradengleichung im Exponenten darstellen. Diese Darstellungsform hat eine wichtige Konsequenz: Nicht alles, was wie eine lineare Funktion (Gerade) aussieht, ist auch eine Gerade – man muss immer vorher auf die Skalierung der y-Achse achten. Diese Art der Skalierung nennt man übrigens logarithmische Skalierung (der y-Achse).

Berechnen kannst du die Aufgaben immer mit der ersten Variante, die anderen Varianten ermittelst du mit λ = ln(a), k = log(a), d = log(N0).

Einen Spezialfall stellt die Abnahme von Temperaturen dar: Die Temperatur einer Flüssigkeit kühlt nicht auf 0° aus, auf Umgebungstemperatur (TU). Durch Verschieben der Kurve im Koordinatensystem kannst du dir folgende Formel erklären: T(t) = (T0-TU)at + TU.

Übungsanregung Vertiefung der Exponentialfunktion

  • Stelle die Funktionsterme der Aufgaben der Übungszettel in allen drei Varianten dar!
  • Zeichne die Funktion mancher dieser Funktionen sowohl in der üblichen Skalierung als auch mit logarithmisch skalierter y-Achse (in einem eigenen Koordinatensystem) und versuche, auch daraus Werte abzulesen.
  • Erfinde eigene Beispiele zur Abnahme von Temperaturen. Mache eventuell Versuche mit verschiedenen Flüssigkeiten, Gefäßen oder Umgebungstemperaturen!
  • Recherchiere im Internet nach weiteren Anwendungsgebieten der Exponentialfunktion und fasse deine Ergebnisse verständlich und übersichtlich zusammen!

Übe gerade soviel, dass du die Aufgaben verstehst und ohne große Mühe fehlerfrei lösen kannst.
Übe gemeinsam mit anderen die gleichen Aufgaben, damit du die Schritte gut vergleichen kannst.