{"id":269,"date":"2008-04-07T19:35:36","date_gmt":"2008-04-07T18:35:36","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jomo.org\/?p=269"},"modified":"2021-05-29T14:02:19","modified_gmt":"2021-05-29T13:02:19","slug":"taylorpolynome-simulation-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/taylorpolynome-simulation-1","title":{"rendered":"Taylorpolynome: Simulation 1"},"content":{"rendered":"<p>Folgendes dynamische Arbeitsblatt (geogebra) zeigt, wie sich die ersten Taylor-Polynome als N\u00e4herungsfunktion f\u00fcr eine Funktion am Entwicklungspunkt entwickeln, wenn man den Entwicklungspunkt verschiebt.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1020\" src=\"https:\/\/www.jomo.org\/wp-content\/uploads\/2008\/04\/taylor-1.png\" alt=\"\" width=\"501\" height=\"339\" srcset=\"https:\/\/www.jomo.org\/wp-content\/uploads\/2008\/04\/taylor-1.png 1480w, https:\/\/www.jomo.org\/wp-content\/uploads\/2008\/04\/taylor-1-300x203.png 300w, https:\/\/www.jomo.org\/wp-content\/uploads\/2008\/04\/taylor-1-1024x693.png 1024w, https:\/\/www.jomo.org\/wp-content\/uploads\/2008\/04\/taylor-1-768x520.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 501px) 100vw, 501px\" \/><\/p>\n<p>Die Grafik zeigt die 1., 3., 5., 7. und 9. N\u00e4herungsfunktion am Entwicklungspunkt 1.<\/p>\n<p>Die Funktion ist f(x) = sin(x). T<sub>1<\/sub>(x) gibt die erste N\u00e4herung an (hellblau), sie ist die Tangente am Entwicklungspunkt. T<sub>3<\/sub>(x) ist eine kubische Funktion (dunkelblau). Mit jedem weitere Taylorglied wird die Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall um den Entwicklungspunkt besser angen\u00e4hert. In der Abbildung oben kann man beobachten, dass T<sub>5<\/sub>(x) die Funktion sin(x) (pink strichliert) im Intervall (-0.5 | 2.5) recht gut ann\u00e4hert, T<sub>7<\/sub>(x) (rot punktiert) im Intervall (-1.5 | 3.3) und T<sub>9<\/sub>(x) (orange, auf f(x)) bereits im gesamten dargestellten Bereich.<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" title=\"Taylorpolynome am Entwicklungspunkt\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/tk75abwp\/width\/516\/height\/464\/border\/888888\/sfsb\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" style=\"border:0px;\" width=\"516px\" height=\"464px\"> <\/iframe><\/p>\n<p>Der Entwicklungspunkt kann mit dem Schieberegler im Geogebra-Applet verschoben werden, die punktierte senkrechte Linie zeigt in der Grafik die Lage des Entwicklungspunktes an. In einem Intervall um diesen Entwicklungspunkt ist die N\u00e4herung halbwegs genau &#8211; je nachdem, wie gro\u00df das Intervall ist und wie viele Reihenglieder das Taylor-Polynom hat.<\/p>\n<div>\n<p><strong>Arbeitsblatt Geogebra<\/strong><br \/>\nErstellt mit <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">GeoGebra<\/a><\/p>\n<p>Die Systematik dieser Taylor-Entwicklungen stelle ich im Beitrag <a href=\"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/taylorreihen-und-taylorpolynome\">https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/taylorreihen-und-taylorpolynome<\/a> dar.<\/p>\n<p>Arbeitsanleitungen<\/p>\n<ul>\n<li>Verfolge grafisch die N\u00e4herungsfunktionen f\u00fcr f(x) bei Verschiebung des Entwicklungspunktes mit dem Schieberegler!<\/li>\n<li>\u00dcberpr\u00fcfe (durch Nachrechnen) die jeweiligen Funktionsterme der Taylorpolynom je nach Wahl des Entwicklungspunktes!<\/li>\n<li>Mit einem Doppelklick auf den Funktionsterm links kannst du einen anderen Funktionsterm eingeben und die Analyse mit anderen Funktionen durchf\u00fchren: beispielsweise mit f(x) = sin(x). Die richtigen Taylorpolynome werden automatisch berechnet.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Folgendes dynamische Arbeitsblatt (geogebra) zeigt, wie sich die ersten Taylor-Polynome als N\u00e4herungsfunktion f\u00fcr eine Funktion am Entwicklungspunkt entwickeln, wenn man den Entwicklungspunkt verschiebt. Die Grafik zeigt die 1., 3., 5., 7. und 9. N\u00e4herungsfunktion am Entwicklungspunkt 1. Die Funktion ist f(x) = sin(x). 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