{"id":267,"date":"2008-04-07T19:34:07","date_gmt":"2008-04-07T18:34:07","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jomo.org\/?p=267"},"modified":"2021-05-30T11:24:35","modified_gmt":"2021-05-30T10:24:35","slug":"taylorreihen-und-taylorpolynome","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/taylorreihen-und-taylorpolynome","title":{"rendered":"Taylorreihen und Taylorpolynome"},"content":{"rendered":"

In diesem Kapitel geht es um das Auffinden von einfachen N\u00e4herungsfunktionen f\u00fcr komplizierte Funktionen. Unter einfachen<\/em> Funktionen versteht man hier Potenzfunktionen beliebig hoher Ordnung, komplizierte<\/em> Funktionen sind hier in erster Linie die Winkelfunktionen, die Exponential- und Logarithmusfunktionen. Man kann aber auch Potenzfunktionen h\u00f6herer Ordnung durch Potenzfunktionen niedriger Ordnung ann\u00e4hern.<\/p>\n

Die N\u00e4herungsfunktionen sind nur in einem bestimmten Bereich eine gute N\u00e4herung.Die Grundidee ist, dass man die Funktion an einer bestimmten Stelle a betrachtet und durch ihre N\u00e4herung ersetzt. An der Stelle x = a wird die Funktion einfach durch ihren Funktionswert ersetzt.<\/p>\n

M\u00f6chte man den Trend der Funktion an der Stelle x = a zur N\u00e4herung hinzuf\u00fcgen, so wird die Tangente an die Funktion an dieser Stelle berechnet.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

T1(x) nennt man auch Linearisierung von f an der Stelle xo<\/sub>=a<\/em>. Die Linearisierung ist nat\u00fcrlich nur in einem engen Intervall um a als Trend sinnvoll. Der Gleichungsterm entspricht umgeformt dem linearen Funktionsterm T<\/strong>1<\/strong><\/sub>(x) = f(x<\/strong>o<\/strong><\/sub>) + f'(x<\/strong>o<\/strong><\/sub>)<\/strong>.<\/strong><\/sup>(x – x<\/strong>o<\/strong><\/sub>).<\/strong> Die Tangentengleichung als lineare N\u00e4herungsfunktion f\u00fcr f(x) an der Stelle xo<\/sub>=a<\/em>.<\/p>\n

M\u00f6chte man zum linearen Trend<\/em> auch das Kr\u00fcmmungsverhalten<\/em> bei x = a einbeziehen, so wird zur linearen N\u00e4herung noch die zweite Ableitung hinzugef\u00fcgt. Die N\u00e4herungsfunktion wird dadurch etwas aussagekr\u00e4ftiger. Die zweite Ableitung wird mit dem Faktor 2 im Nenner gewichtet.<\/p>\n

T<\/strong>2<\/strong><\/sub>(x) = f(x<\/strong>o<\/strong><\/sub>) + f'(x<\/strong>o<\/strong><\/sub>)<\/strong>.<\/strong><\/sup>(x – x<\/strong>o<\/strong><\/sub>) + f“(x<\/strong>o<\/strong><\/sub>)<\/strong>.<\/strong><\/sup>(x – x<\/strong>o<\/strong><\/sub>)\u00b2\/2<\/strong> ist eine quadratische N\u00e4herungsfunktion f\u00fcr f(x) an der Stelle xo<\/sub>=a<\/em>.<\/p>\n

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Zur Systematik dieser Entwicklung<\/strong><\/p>\n

Die erste Ableitung wird mit dem Term (x – a) bzw. (x – xo<\/sub>)<\/em> multipliziert.
\nDie zweite Ableitung wird mit dem Term (x – a)\u00b2 bzw. (x – xo<\/sub><\/em>)\u00b2 multipliziert.<\/p>\n

Der Faktor (x \u2013 a) bedeutet, dass der Fehler der N\u00e4herung gr\u00f6\u00dfer wird, je weiter der x-Wert von a entfernt ist. Bei x = a bleibt als N\u00e4herung genau der Funktionswert \u00fcbrig. Man nennt a den Entwicklungspunkt<\/em> der Taylorreihe. Der Entwicklungspunkt ist jener Punkt, in dessen Umgebung das Verhalten der Funktion sinnvoll angen\u00e4hert wird. Je h\u00f6her die Ableitung, umso st\u00e4rker wird aufgrund der Potenz von (x – a) der Fehler wenn | x \u2013 a | > 1.<\/p>\n

Jede Ableitung wird mit einem Faktor im Nenner gewichtet, der angibt, wie stark die jeweilige Ableitung in der N\u00e4herungsfunktion ber\u00fccksichtigt wird. Die Gewichtung<\/em> der n-ten Ableitung ist n!<\/em>, die Gewichtung der einzelnen Ableitungen h\u00e4ngt mit den h\u00f6heren Ableitungen der Potenzfunktion zusammen und soll hier nicht n\u00e4her erkl\u00e4rt werden.<\/p>\n

Je mehr Ableitungen in der Taylor-Entwicklung gebildet werden, desto genauer wird die Funktion f durch die Taylor-Entwicklung (oder Taylor-Reihe) angen\u00e4hert.(T17<\/sub> hellgr\u00fcn)<\/p>\n

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Die Taylor-Reihe entspricht der Funktion, wenn unendlich viele Ableitungen summiert werden.<\/p>\n

Visualisierung<\/strong><\/p>\n

Die Grafik zeigt mehrere Taylor-Polynome f\u00fcr f(x) = sin(x) am Entwicklungspunkt a = 0. Die blaue Gerade ist die erste N\u00e4herung T1(x), die gr\u00fcne Funktion die kubische N\u00e4herung T3(x), etc. In der Umgebung des Entwicklungspunktes ist die Abweichung von sin(x) bereits sehr klein.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Allgemein ist eine Funktion f auch als n-tes Taylorpolynom<\/em> der Funktion f mit einem Fehler (Restglied-Polynom) darstellbar.<\/p>\n

Die Differenz zwischen N\u00e4herung und Funktion l\u00e4sst sich mit Hilfe von Restglied-Polynomen Rn(x) ausdr\u00fccken. Man kann Aussagen \u00fcber das Restglied-Polynom machen, das \u00fcbersteigt aber bei Weitem die Mathematik der h\u00f6heren Schule. Jedenfalls ist der Fehler gr\u00f6\u00dfer, je st\u00e4rker x vom Entwicklungspunkt a abweicht.<\/p>\n

F\u00fcr den Spezialfall a = 0 nennt man die Taylor-Polynome MacLaurin-Polynome<\/em> oder MacLaurin-Reihe<\/em>. Die MacLaurin-Reihe hat gegen\u00fcber dem allgemeinen Term der Taylor-Reihe den Vorteil des einfacheren Funktionsterms.<\/p>\n

Wichtige Taylor- bzw. MacLaurin-Polynome<\/strong><\/p>\n

Bemerkenswert sind die MacLaurin-Reihen f\u00fcr folgende Funktionen:<\/p>\n

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Setzt man x = 1 in der MacLaurin-Reihe von ex<\/sup>, so erh\u00e4lt man f\u00fcr den Wert der Zahl e die Reihe
\ne = 1 + 1 +1\/2! + 1\/3! + \u2026<\/p>\n

Beachte den Zusammenhang zwischen den Polynomen f\u00fcr sin(x) und cos(x)!<\/p>\n

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In diesem Kapitel geht es um das Auffinden von einfachen N\u00e4herungsfunktionen f\u00fcr komplizierte Funktionen. Unter einfachen Funktionen versteht man hier Potenzfunktionen beliebig hoher Ordnung, komplizierte Funktionen sind hier in erster Linie die Winkelfunktionen, die Exponential- und Logarithmusfunktionen. Man kann aber auch Potenzfunktionen h\u00f6herer Ordnung durch Potenzfunktionen niedriger Ordnung ann\u00e4hern. Die N\u00e4herungsfunktionen sind nur in einem […]<\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[25],"tags":[],"class_list":["post-267","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-differentialrechnung"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/267","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=267"}],"version-history":[{"count":12,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/267\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1098,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/267\/revisions\/1098"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=267"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=267"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=267"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}