{"id":263,"date":"2007-12-23T19:30:49","date_gmt":"2007-12-23T18:30:49","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jomo.org\/?p=263"},"modified":"2021-05-29T21:36:02","modified_gmt":"2021-05-29T20:36:02","slug":"anwendung-der-differentialrechnung-kostentheorie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/anwendung-der-differentialrechnung-kostentheorie","title":{"rendered":"Anwendung der Differentialrechnung: Kostentheorie"},"content":{"rendered":"

Eine Kostenfunktion <\/em>bezeichnet den Zusammenhang zwischen Produktionsmenge und Produktionskosten. F\u00fcr die betriebswirtschaftliche Analyse unterscheidet man je nach Charakteristik der Kostenkurve lineare, quadratische und kubische Kostenverl\u00e4ufe.<\/p>\n

Ein kubischer Kostenverlauf<\/em> ist bei geringer Produktionsmenge degressiv <\/em>(Kurve wird flacher, Kostenzuwachs wird weniger), bei h\u00f6herer Produktionsmenge progressiv<\/em> (Kurve wird steiler, Kostenzuwachs wird gr\u00f6\u00dfer).<\/p>\n

Grenzkosten<\/h3>\n

\"\"<\/p>\n

Die erste Ableitung der Kostenfunktion zeigt die Kostenzuw\u00e4chse. Man nennt die Kostenzuw\u00e4chse Grenzkosten<\/em>, die erste Ableitung hei\u00dft Grenzkostenfunktion.<\/p>\n

Der Wendepunkt der Kostenfunktion gibt Produktionsmenge an, f\u00fcr die die Grenzkosten (Kostenzuwachs bei Produktionsausweitung) am Geringsten sind. Diese Produktionsmenge hei\u00dft Kostenkehre<\/em>.<\/p>\n

St\u00fcckkosten<\/h3>\n

Die St\u00fcckkostenfunktion <\/em>zeigt, dass und wie die H\u00f6he der St\u00fcckkosten von der Produktionsmenge abh\u00e4ngt. Die St\u00fcckkosten nehmen (in diesem Beispiel) mit zunehmender Produktionsmenge ab, ab einer bestimmten Produktionsmenge allerdings nehmen sie wieder zu.<\/p>\n

Die St\u00fcckkosten sind wichtig, weil sie den minimalen Verkaufspreis<\/em> pro St\u00fcck an geben. Bei unterschiedlichen Produktionsmengen gibt es also unterschiedliche minimale Verkaufspreise! Wenn ein Betrieb den geringstm\u00f6glichen Verkaufspreis (ohne Verlust) sucht, berechnet er das Minimum der St\u00fcckkostenfunktion. Achtung: Dieser minimale Verkaufspreis ist nur bei einer bestimmten Produktionsmenge g\u00fcltig. Diese Produktionsmenge hei\u00dft Betriebsoptimum<\/em>, der Verkaufspreis hei\u00dft langfristige Preisuntergrenze<\/em>.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Setzt man als Preis die langfristige Preisuntergrenze in die Erl\u00f6sfunktion<\/em> E(x)= px ein, so erh\u00e4lt man eine Erl\u00f6sfunktion, die die Kostenfunktion im Betriebsoptimum ber\u00fchrt. Das entspricht der Definition der langfristigen Preisuntergrenze als minimalem Verkaufspreis, bei dem weder Gewinn noch Verlust erzielt wird.<\/p>\n

Variable (St\u00fcck-)Kosten<\/h3>\n

Die variablen Kosten<\/em> sind jene Kosten, die von der Produktionsmenge abh\u00e4ngig sind. Mathematisch sind das jene Teile des Funktionsterms mit einem x. Dividiert man die variablen Kosten durch x, erh\u00e4lt man die variable St\u00fcckkostenfunktion<\/em> VSTK(x). Die Produktionsmenge beim Minimum von VSTK(x) hei\u00dft Betriebsminimum<\/em>, der y-Wert hei\u00dft kurzfristige Preisuntergrenze<\/em>. Unter der Voraussetzung, dass andere Produkte die Fixkosten tragen, ist der Verkauf zu diesem eigentlich defizit\u00e4ren Preis (kurzfristig) wirtschaftlich sinnvoll.<\/p>\n

Die Gerade durch den Fixkostenpunkt ber\u00fchrt die Kostenfunktion im Betriebsminimum. Das entspricht der gleiche Stelle, an der die um die Fixkosten nach unten verschobene variable Kostenfunktion von der Erl\u00f6sfunktion mit der kurzfrisitgen Preisuntergrenze als Verkaufspreis ber\u00fchrt wird.<\/p>\n

In der obigen Abbildung stellt man sich die x-Achse um die Fixkosten hinaufverschoben vor. Man bildet eine neue Erl\u00f6sfunktion, die die Kostenfunktion als Tangente ber\u00fchrt und erh\u00e4lt so das Betriebsminimum. Die variable St\u00fcckkosten verl\u00e4uft etwas unterhalb der St\u00fcckkostenfunktion.<\/p>\n

Grenzkosten, St\u00fcckkosten und variable St\u00fcckkosten<\/h3>\n

Interessanterweise schneidet die Grenzkostenfunktion die St\u00fcckkosten- und die variable St\u00fcckkostenfunktion in deren Minimum, also im Betriebsoptimum und im Betriebsminimum. Das kann \u00fcber das Verh\u00e4ltnis von (variablen) St\u00fcckkosten und Grenzkosten bei Produktionsausweitung erkl\u00e4rt werden.<\/p>\n

Kosten, Preis und Gewinn<\/h3>\n

F\u00fcr einen Betrieb wichtig ist noch die Produktionsmenge f\u00fcr den maximalen Gewinn. Setzt man in die Erl\u00f6sfunktion einen h\u00f6heren Preis als die langfristige Preisuntergrenze ein, so erh\u00e4lt man eine Erl\u00f6sfunktion, die die Kostenfunktion echt schneidet und daher einen Gewinnbereich erm\u00f6glicht. Das Maximum der Gewinnfunktion liegt mengenm\u00e4\u00dfig etwas oberhalb des Betriebsoptimums. Setzt man als Preis die langfristige Preisuntergrenze ein, so fallen Menge f\u00fcr den maximalen Gewinn und Betriebsoptimum zusammen, der maximale Gewinn betr\u00e4gt Null. Die Gewinnfunktin ber\u00fchrt die x-Achse an dieser Stelle von unten.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Aufgabenstellungen zur Kostentheorie bei gegebenem Funktionsterm<\/strong><\/p>\n

Kubische Kostenfunktion<\/strong><\/p>\n

    \n
  • Berechne die Kostenkehre und die Grenzkosten bei der Kostenkehre<\/li>\n
  • Berechne die Grenzkosten bei anderen Produktionsmengen (etwa 10, 20 30 ME)<\/li>\n
  • Berechne die St\u00fcckkostenfunktion, das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze.<\/li>\n
  • Berechne die St\u00fcckkosten bei anderen Produktionsmengen.<\/li>\n
  • Wie gro\u00df muss der Verkaufspreis bei einer Produktion von \u2026 ME mindestens sein?<\/li>\n
  • Berechne das Betriebsminimum und die kurzfrisitge Preisuntergrenze.<\/li>\n
  • Berechne die variablen St\u00fcckkosten bei verschiedenen Produktionsmengen.<\/li>\n
  • W\u00e4hle einen sinnvollen Verkaufspreis, bilde die Erl\u00f6sfunktion und berechne die Gewinnfunktion, die Gewinnschwellen, die Produktionsmenge f\u00fcr den maximalen Gewinn und den maximalen Gewinn!<\/li>\n<\/ul>\n

    Quadratische bzw. lineare Kostenfunktion<\/strong><\/p>\n

      \n
    • Untersuche, wie sich bei einer quadratischen (progressiven) Kostenfunktion bzw. bei linearen Kostenfunktion Grenzkosten, St\u00fcckkosten und variable St\u00fcckkosten verhalten. Was l\u00e4\u00dft sich \u00fcber Kostenkehre, Betriebsoptimum und Betriebsminmum sagen?<\/li>\n
    • Was l\u00e4\u00dft sich bei quadratischen bzw. linearen Kostenfunktionen \u00fcber minimalen Verkaufspreis, Erl\u00f6s- und Gewinnfunktion bzw. maximalen Gewinn sagen?<\/li>\n<\/ul>\n

      Beispiele f\u00fcr kubische Kostenverl\u00e4ufe<\/strong>
      \nK(x) = 0,05x\u00b3 – 3x\u00b2 + 80x + 100
      \nK(x) = 1,00x\u00b3 – 10x\u00b2 + 50x + 150
      \nK(x) = 1,00x\u00b3 – 12x\u00b2 + 60x + 200<\/p>\n

      Beispiele f\u00fcr quadratische Kostenverl\u00e4ufe<\/strong>
      \nK(x) = x\u00b2 + 50x + 500
      \nK(x) = x\u00b2 + 40x + 400
      \nK(x) = x\u00b2 + 30x + 300<\/p>\n

      Beispiele f\u00fcr lineare Kostenverl\u00e4ufe<\/strong>
      \nK(x) = 0,5x + 10
      \nK(x) = 2,5x + 20
      \nK(x) = 5,0x + 30<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Eine Kostenfunktion bezeichnet den Zusammenhang zwischen Produktionsmenge und Produktionskosten. F\u00fcr die betriebswirtschaftliche Analyse unterscheidet man je nach Charakteristik der Kostenkurve lineare, quadratische und kubische Kostenverl\u00e4ufe. Ein kubischer Kostenverlauf ist bei geringer Produktionsmenge degressiv (Kurve wird flacher, Kostenzuwachs wird weniger), bei h\u00f6herer Produktionsmenge progressiv (Kurve wird steiler, Kostenzuwachs wird gr\u00f6\u00dfer). Grenzkosten Die erste Ableitung der Kostenfunktion […]<\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[25],"tags":[],"class_list":["post-263","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-differentialrechnung"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/263","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=263"}],"version-history":[{"count":12,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/263\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1069,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/263\/revisions\/1069"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=263"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=263"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=263"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}