{"id":261,"date":"2007-11-21T19:29:28","date_gmt":"2007-11-21T18:29:28","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jomo.org\/?p=261"},"modified":"2010-05-06T20:58:27","modified_gmt":"2010-05-06T19:58:27","slug":"berechnung-der-ableitungsfunktion-grenzwertrechnung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/berechnung-der-ableitungsfunktion-grenzwertrechnung","title":{"rendered":"Berechnung der Ableitungsfunktion: Grenzwertrechnung"},"content":{"rendered":"

Die Berechnung der Tangentensteigung gelingt mit Hilfe der Grenzwertrechnung. Das Problem ist ja, dass die Tangentensteigungen nicht von vornherein klar sind, sondern sie \u00fcber die Bestimmung von Sekanten, deren x-Werte beliebig nahe beisammen liegen, n\u00e4herungsweise bestimmt werden m\u00fcssen.<\/p>\n

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\"Sekante_und_Tabgente\"<\/a>

Tangente bzw. Sekante: Je n\u00e4her der obere Punkt B zum Punkt A auf der quadratischen Funktion geschoben wird, umso kleiner das Steigungsdreieck und umso mehr neigt sich die Sekante zur Tangente.<\/p><\/div>\n

Schiebt man A einfach auf B, dann sind yDifferenz und xDifferenz der beiden Punkte jeweils Null und die Steigung m\u00fc\u00dfte mit Hilfe der Division 0\/0 berechnet werden. Diesem Dilemma entgeht die Mathematik mit der Entwicklung der Grenzwertrechnung.<\/p>\n

Um die genaue Tangentensteigung zu berechnen, berechnet man zuerst eine Folge von N\u00e4herungen (Sekantensteigungen), wobei darauf geachtet wird, dass das Intervall der x-Werte systematisch verkleinert (etwa halbiert) wird. In diesem Fall kann man beobachten, dass die Folge der N\u00e4herungssteigungen ebenfalls einer Systematik unterliegt und einem bestimmten Wert (Grenzwert) zustrebt. Die Grenzwertrechnung stellt dann die entsprechenden Regeln (Limes einer Folge) zur Verf\u00fcgung.<\/p><\/div>\n

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Didaktische Anmerkung<\/p>\n

Ich verzichte am Beginn der Differentialrechnung auf die Grenzwertrechnung, da die geometrische Ableitung von Funktionen evident genug ist und die Grenzwertrechnung vom Thema zu sehr ablenkt. Nach der Analyse von Funktionen (Funktionsdiskussion) und Anwendungen (Kostentheorie, Taylor-N\u00e4herungsfunktionen) kann ich noch gut zur Grenzwertrechnung zur\u00fcckkommen.<\/p><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Die Berechnung der Tangentensteigung gelingt mit Hilfe der Grenzwertrechnung. Das Problem ist ja, dass die Tangentensteigungen nicht von vornherein klar sind, sondern sie \u00fcber die Bestimmung von Sekanten, deren x-Werte beliebig nahe beisammen liegen, n\u00e4herungsweise bestimmt werden m\u00fcssen. Schiebt man A einfach auf B, dann sind yDifferenz und xDifferenz der beiden Punkte jeweils Null und […]<\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[25],"tags":[],"class_list":["post-261","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-differentialrechnung"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/261","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=261"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/261\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":691,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/261\/revisions\/691"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=261"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=261"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=261"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}