- \n
- Die Ableitung einer linearen Funktion ist eine konstante Funktion (da die Steigung einer linearen Funktion konstant ist).<\/li>\n
- Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist eine lineare Funktion.<\/li>\n
- Die Ableitung einer kubischen Funktion ist eine quadratische Funktion.<\/li>\n
- Die Ableitung einer beliebigen Potenzfunktion ist eine Potenzfunktion.<\/li>\n
- Die Ableitung einer (einfachen) Winkelfunktion ist eine Winkelfunktion (ausgenommen Tangens).<\/li>\n
- Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist eine Exponentialfunktion.<\/li>\n<\/ul>\n
Wir k\u00f6nnen diese Zusammenh\u00e4nge zwischen den Funktionstermen ohne Grenzwertrechnung zwar (noch) nicht rechnerisch ermitteln, aber zumindest grafisch nachvollziehen. Bei den Funktionstermen wird ein klarer und einfacher Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung sichtbar.<\/p>\n
Zusammenhang zwischen den Funktionstermen und den beiden Funktionsgraphen: Polynomfunktion 3. Grades<\/h3>\n
![\"\"](\"https:\/\/www.jomo.org\/wp-content\/uploads\/2007\/11\/Ableitung-kubisch.png\")
\nAbbildung: kubische Funktion und Ableitung<\/em><\/p>\nf(x) = x3<\/sup> – x2<\/sup> + 1 (schwarz, oben) und f\u00b4(x)= 3x2<\/sup> -2x (rot, unten)
\nDie Ableitung dieser kubischen Funktion ist eine quadratische Funktion, die Funktionsterme h\u00e4ngen auf einfache Weise zusammen.<\/p>\n- \n
- Im Intervall x<0 (linker hellgrauer Bereich) sind die Tangentensteigungen positiv, daher die y-Werte der Ableitung positiv.<\/li>\n
- Im Bereich x>0.67 (rechter hellgrauer Bereich) sind die Tangentensteigungen positiv, daher die y-Werte der Ableitung positiv.<\/li>\n
- Im Bereich dazwischen ist f(x) fallend, daher sind die y-Werte der Ableitung negativ.<\/li>\n
- Der Wechsel geschieht an den Extremstellen von f(x) E_1 und E_2 (gr\u00fcn strichliert). Das entspricht den Nullstellen von f‘.<\/li>\n
- Der st\u00e4rkste negative Wert ist beim Extremum E der Ableitung, das entspricht dem Wendepunkt W von f(x).<\/li>\n
- Aus diesen grafisch sichtbaren Zusammenh\u00e4ngen ergibt sich auch, wie man diese markanten Punkte (Extrema, Wendepunkte) berechnet: F\u00fcr die Extrema von f berechnet man die Nullstellen von f‘, f\u00fcr den Wendepunkt die Extrema von f‘ (das sind dann die Nullstellen vonf“).<\/li>\n<\/ul>\n
Zusammenhang zwischen den Funktionstermen und den beiden Funktionsgraphen: Winkelfunktion<\/h3>\n
![\"\"](\"https:\/\/www.jomo.org\/wp-content\/uploads\/2007\/11\/Ableitung-sinus.png\")
\nSkizze: Winkelfunktion und Ableitung<\/em><\/p>\nBeobachte wie oben die Zusammenh\u00e4nge zwischen den Funktionstermen und Funktionsgraphen.<\/p>\n
Zusammenhang zwischen den Funktionstermen und den beiden Funktionsgraphen: Exponentialfunktion<\/h3>\n
![\"\"](\"https:\/\/www.jomo.org\/wp-content\/uploads\/2007\/11\/Ableitung-expo.png\")
\nSkizze: Exponentialfunktion und Ableitung<\/em><\/p>\nBeobachte wie oben die Zusammenh\u00e4nge zwischen den Funktionstermen und Funktionsgraphen.<\/p>\n
- \n
- Die Funktion f ist \u00fcberall monoton steigend.<\/li>\n
- Die Steigung (y-Wert der Ableitung) bei x=0 ist 1.<\/li>\n
- Die Funktion f steigt f\u00fcr gr\u00f6\u00dfere x immer st\u00e4rker, daher werden die y-Werte der Ableitung immer gr\u00f6\u00dfer.<\/li>\n<\/ul>\n
Es bestehen u.a. folgende Zusammenh\u00e4nge<\/h3>\n
f(x) = kx+d, dann ist f'(x) = k (das ist ja die Steigung der Geraden)
\nf(x) = sin(x), dann ist f'(x) = cos(x)
\nf(x) = cos(x), dann ist f'(x) = sin(x)
\nf(x) = exp(x), dann ist f'(x) = exp(x)<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Der Zusammenhang zwischen den Funktionstermen von Funktion und ihrer ersten Ableitung ist das Verbl\u00fcffende an der Differentialrechnung: Die Ableitung einer linearen Funktion ist eine konstante Funktion (da die Steigung einer linearen Funktion konstant ist). Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist eine lineare Funktion. Die Ableitung einer kubischen Funktion ist eine quadratische Funktion. Die Ableitung einer […]<\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[25],"tags":[],"class_list":["post-259","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-differentialrechnung"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/259","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=259"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/259\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1057,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/259\/revisions\/1057"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=259"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=259"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=259"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}