{"id":255,"date":"2007-11-21T19:24:18","date_gmt":"2007-11-21T18:24:18","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jomo.org\/?p=255"},"modified":"2021-05-29T17:26:00","modified_gmt":"2021-05-29T16:26:00","slug":"die-grundidee-der-differentialrechnung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/die-grundidee-der-differentialrechnung","title":{"rendered":"Die Grundidee der Differentialrechnung"},"content":{"rendered":"<p>Anmerkung zum Funktionsbegriff: Eine Funktion zeigt den Zusammenhang zweier Gr\u00f6\u00dfen, indem die eine als abh\u00e4ngig von der anderen gedacht wird. Diese Abh\u00e4ngigkeit ist formal und wird durch eine Formel ausgedr\u00fcckt, den Funktionsterm. Die abh\u00e4ngige Gr\u00f6\u00dfe wird meist mit y oder f(x) bezeichnet, die andere Gr\u00f6\u00dfe x. Der Funktionsterm gibt jene Formel an, mit der man die abh\u00e4ngige Gr\u00f6\u00dfe f(x) aus einem x berechnen kann. Alle m\u00f6glichen Werte von f(x) grafisch dargestellt zeigen den Funktionsverlauf oder Funktionsgraf.<\/p>\n<p>Die Grundidee der Differentialrechnung ist die Untersuchung des Ver\u00e4nderungsverhaltens einer Funktion: Wie stark steigt\/f\u00e4llt ein Funktionsgraf, wo ist ein Maximum oder ein Minimum, wo liegt eine Trendwende vor?<\/p>\n<p>Gemessen wird der <em>Grad der Ver\u00e4nderung<\/em> mit Hilfe der Steigung der Tangente an einer bestimmten Stelle der Funktion x<sub>o<\/sub>. Steigt die Funktion in einem Bereich st\u00e4rker\/schw\u00e4cher, ist die Tangentensteigung dort gr\u00f6\u00dfer\/kleiner. F\u00e4llt eine Funktion (gelesen von inks nach rechts), dann sind die Tangentensteigungen negativ.<\/p>\n<p>Wir k\u00f6nnten jetzt f\u00fcr jeden Punkt einer Funktion die Tangentensteigung ermitteln: Die einzelnen Tangentensteigungen zeichnen wir in das Diagramm, sie liegen auf einer Funktion, der <em>Tangentensteigungsfunktion<\/em>. Diese Funktion nennt man 1. Ableitung von f(x): f'(x). Die 1. Ableitung repr\u00e4sentiert also die Tangentensteigungen von f(x) in jedem Punkt.<\/p>\n<p style=\"margin: 0px;\" align=\"left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1044\" src=\"https:\/\/www.jomo.org\/wp-content\/uploads\/2007\/11\/Ableitung.png\" alt=\"\" width=\"500\" height=\"347\" srcset=\"https:\/\/www.jomo.org\/wp-content\/uploads\/2007\/11\/Ableitung.png 1018w, https:\/\/www.jomo.org\/wp-content\/uploads\/2007\/11\/Ableitung-300x208.png 300w, https:\/\/www.jomo.org\/wp-content\/uploads\/2007\/11\/Ableitung-768x533.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 500px) 100vw, 500px\" \/><br \/>\n<em>Die erste Ableitung als Tangentensteigungsfunktion<\/em><\/p>\n<p><strong>Kommentar zur Abbildung<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>An der Stelle x<sub>0<\/sub>=1 wird im Punkt P auf der Funktion die Tangente t an die Funktion f (rot) gebildet, diese hat die Steigung k=2.<\/li>\n<li>Dieser Wert wird an der x-Stelle 1 als y-Wert einer neuen Funktion, der Tangentensteigungsfunktion bzw. ersten Ableitung von f, aufgetragen, hier als Punkt Q mit den Koordinaten ( 1 | 2 ).<\/li>\n<li>Ermittelt man jetzt mehrere solcher Tangentensteigungen f\u00fcr andere x-Stellen, so liegen die Steigungen auf der ersten Ableitung (hellblau).<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Anmerkung zum Funktionsbegriff: Eine Funktion zeigt den Zusammenhang zweier Gr\u00f6\u00dfen, indem die eine als abh\u00e4ngig von der anderen gedacht wird. 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