{"id":245,"date":"2007-04-23T19:15:32","date_gmt":"2007-04-23T18:15:32","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jomo.org\/?p=245"},"modified":"2010-05-06T17:39:57","modified_gmt":"2010-05-06T16:39:57","slug":"einfuhrung-seitenverhaltnisse-und-strahlensatz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/einfuhrung-seitenverhaltnisse-und-strahlensatz","title":{"rendered":"Einf\u00fchrung: Seitenverh\u00e4ltnisse und Strahlensatz"},"content":{"rendered":"<p>In der antiken Geometrie wurde bereits sehr fr\u00fch ein bemerkenswerter Zusammenhang entdeckt, der als <em>Strahlensatz <\/em>bezeichnet wird: In einem rechtwinkeligen Dreieck sind die Verh\u00e4ltnisse zweier Seiten zueinander konstant, wenn bei gleichen Winkeln die Seitenl\u00e4ngen variieren.<\/p>\n<div>\n<p style=\"margin: 0px;\" align=\"left\"><img decoding=\"async\" style=\"max-width: 100%; margin-bottom: 5px;\" src=\"http:\/\/jomo.org\/edu\/grafiken\/94.jpg\" alt=\"\" \/><br \/>\n<em>Skizze: Hypothenuse, Gegenkathete, Ankathete bzw. Strahlensatz<\/em><\/p>\n<p>Untersucht man diesen Zusammenhang etwas systematischer, so kann man folgende Sachverhalte feststellen und definieren:<\/p>\n<ul>\n<li>Wird der Winkel Alpha gr\u00f6\u00dfer (von 0\u00b0 bis 90\u00b0), so wird auch das Verh\u00e4ltnis G:H gr\u00f6\u00dfer, es erh\u00e4lt Werte von 0 bis 1.<\/li>\n<li>Wird der Winkel Alpha gr\u00f6\u00dfer (von 0\u00b0 bis 90\u00b0), so wird das Verh\u00e4ltnis A:H kleiner, es erh\u00e4lt Werte von 1 bis 0.<\/li>\n<li>Aufgrund des Satzes von Pythagoras gilt: (G:H)<sup>2<\/sup> + (A:H)<sup>2<\/sup> = 1.<\/li>\n<li>Wird der Winkel Alpha gr\u00f6\u00dfer (von 0\u00b0 bis 90\u00b0), so wird das Verh\u00e4ltnis von G:A gr\u00f6\u00dfer, ist allerdings bei 90\u00b0 nicht mehr definiert (da hier A=0).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Historisch hat sich die Verwendung genau dieser genannten Seitenverh\u00e4ltnisse durchgesetzt. Diese Seitenverh\u00e4ltnisse wurden folgenderma\u00dfen benannt: (<span>a<\/span> steht f\u00fcr Alpha)<\/p>\n<p>G:H hei\u00dft Sinus von Alpha: sin(<span>a<\/span>),<br \/>\nA:H hei\u00dft Cosinus von Alpha: cos(<span>a<\/span>),<br \/>\nG:A hei\u00dft Tangens von Alpha: tan(<span>a<\/span>).<\/p>\n<p>G:A als tan(<span>a<\/span>) beschreibt \u00fcbrigens die Steigung einer Geraden.<\/p>\n<p><strong>Begriffe<\/strong><br \/>\nG ist die Winkel <span>a<\/span> gegen\u00fcberliegende Seite, A die dem Winkel <span>a<\/span> anliegende Seite. H ist die Hypothenuse, die l\u00e4ngste Seite im rechtwinkeligen Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegen\u00fcber.<\/p>\n<p><strong>Arbeitsanregung<\/strong><\/p>\n<ol type=\"1\">\n<li>Skizziere ein paar rechtwinkelige Dreieecke und benenne H, G, A und <span>a<\/span>. Gib an, welche Seitenverh\u00e4ltnisse Sinus, Cosinus und Tangens beschreiben!<\/li>\n<li>Zeichne je ein rechtwinkeliges Dreieck mit H=10cm, H=5cm, H=3cm und Winkel a=30\u00b0. Berechne jeweils sin(<span>a<\/span>), cos(<span>a<\/span>) und tan(<span>a<\/span>) und beobachte, dass das Seitenverh\u00e4ltnis von der L\u00e4nge der Hypothenuse abh\u00e4ngen.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In der antiken Geometrie wurde bereits sehr fr\u00fch ein bemerkenswerter Zusammenhang entdeckt, der als Strahlensatz bezeichnet wird: In einem rechtwinkeligen Dreieck sind die Verh\u00e4ltnisse zweier Seiten zueinander konstant, wenn bei gleichen Winkeln die Seitenl\u00e4ngen variieren. Skizze: Hypothenuse, Gegenkathete, Ankathete bzw. 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