{"id":229,"date":"2008-04-07T18:51:06","date_gmt":"2008-04-07T17:51:06","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jomo.org\/?p=229"},"modified":"2010-05-06T17:12:41","modified_gmt":"2010-05-06T16:12:41","slug":"uneigentliche-integrale-und-die-asymptote-der-integralfunktion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/uneigentliche-integrale-und-die-asymptote-der-integralfunktion","title":{"rendered":"Uneigentliche Integrale und die Asymptote der Integralfunktion"},"content":{"rendered":"

Uneigentliche Integrale sind bestimmte Integrale (Fl\u00e4cheninhalte), die auf einer Seite nicht begrenzt sind und trotzdem einen endlichen Fl\u00e4cheninhalt haben. Die Berechnung dieser uneigentlichen Integrale geschieht \u00fcber die Grenzwert-Rechnung.<\/p>\n

Hier m\u00f6chte ich \u00fcber die Asymptote der Stammfunktion<\/em> eine logische Begr\u00fcndung f\u00fcr diesen Sachverhalt liefern.<\/p>\n

Wir betrachten die Funktion f(x) = 1\/x2<\/sup> (schwarz). Von dieser Funktion bilden wir eine Stammfunktion<\/em> (rot):<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Wir berechnen den Fl\u00e4cheninhalt (pink) zwischen Funktion f(x) und x-Achse im Intervall [1, 10]. Dieser Fl\u00e4cheninhalt betr\u00e4gt 0.9 Einheiten. W\u00e4hlt man jetzt eine gr\u00f6\u00dfere obere Grenze, wird der Fl\u00e4cheninhalt etwas gr\u00f6\u00dfer. Wie gro\u00df man die obere Grenze des Intervalls auch w\u00e4hlt, der Fl\u00e4cheninhalt wird nie 1 erreichen. Der Wert 1 ist der Grenzwert<\/em>, weil 1 die kleinstm\u00f6gliche Zahl ist, durch die der Fl\u00e4cheninhalt begrenzt ist. So ein bestimmtes Integral mit unendlich gro\u00dfer oberer Grenze nennt man uneigentliches Integral<\/em>, wenn ein Grenzwert existiert.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Ich bilde die Integralfunktion<\/em> G(x) (blau), das ist jene Stammfunktion mit dem Funktionsterm F(x) \u2013 F(a)<\/em>. Die Funktionswerte dieser Integralfunktion G(x) geben genau die Gr\u00f6\u00dfe des Fl\u00e4cheninhalts von a (untere Intervall-Grenze) bis zum jeweiligen x-Wert an.<\/p>\n

Als (eine beliebige) Stammfunktion erhalten wir F(x) = -1\/x.
\nIn unserem Fall ist dann G(x) = F(x) \u2013 F(1) = -1\/x \u2013 (-1\/1),
\nalso G(x) = -1\/x + 1<\/em>.<\/p>\n

Wir \u00fcberpr\u00fcfen in der Zeichnung:<\/p>\n

    \n
  1. G(1) muss Null sein, weil 1 die untere Grenze ist und von 1 bis 1 noch keine Fl\u00e4che entsteht. Die Integralfunktion G(x) hat in x = a (hier a=1) eine Nullstelle.<\/li>\n
  2. G(x) w\u00e4chst mit fortschreitendem x zuerst schneller, dann langsamer, weil die Fl\u00e4che (pink) zuerst gr\u00f6\u00dfer und dann kleiner ist.<\/li>\n
  3. Der Funktionswert G(10) = 0.9, weil der Fl\u00e4cheninhalt zwischen f(x) und x-Achse von [1,10] den Wert 0.9 hat.<\/li>\n<\/ol>\n

    \"\"<\/p>\n

    Jetzt kommt noch die Asymptote<\/em> als Erkl\u00e4rungsmodell f\u00fcr die Begrenzung des Fl\u00e4cheninhalts f\u00fcr unendlich gro\u00dfe Intervallgrenze b dazu: Die Asymptote der Funktion G(x)<\/em> ist die zur x-Achse parallele Gerade y = 1<\/em>. Das kannst du durch Polynom-Division berechnen, das geht aber auch aus der Grafik klar hervor: Die Funktionswerte von G(x) werden nie gr\u00f6\u00dfer als 1. Und weil die y-Werte von G(x) die Fl\u00e4cheninhalte unter f(x) von 1 weg repr\u00e4sentieren, sind auch diese nie gr\u00f6\u00dfer als 1!<\/p>\n

    Als einfache grafische \u00dcberpr\u00fcfung<\/em>, ob eine Funktion f(x) ein uneigentliches Integral hat, gen\u00fcgt es zeigen, ob die Stammfunktion eine horizontale Asymptote<\/em> hat. Die H\u00f6he der Asymptote der Integralfunktion ist dann gleichzeitig der Wert des uneigentlichen Integrals. Uneigentlich hei\u00dft das Integral deshalb, weil man im klassischen Sinne eigentlich nicht<\/em> von einem Fl\u00e4cheninhalt<\/em> sprechen kann, wenn die Fl\u00e4che nach einer Seite offen ist.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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