{"id":227,"date":"2008-04-07T18:49:46","date_gmt":"2008-04-07T17:49:46","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jomo.org\/?p=227"},"modified":"2021-05-30T14:30:03","modified_gmt":"2021-05-30T13:30:03","slug":"integralrechnung-begriffe","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/integralrechnung-begriffe","title":{"rendered":"Integralrechnung: Begriffe"},"content":{"rendered":"

Umkehrung der Differentialrechnung<\/strong><\/p>\n

<\/strong><\/p>\n
    \n
  • Die Stammfunktion ist eine (beliebige) Funktion F(x) die f(x) als Ableitung hat.<\/li>\n
  • Es gibt zu f(x) unendliche Stammfunktionen, weil die Integrationskonstante C beim Ableiten verschwindet.<\/li>\n
  • Die Menge aller Stammfunktionen ist grafisch eine Kurvenschar und hei\u00dft unbestimmtes Integral.<\/li>\n
  • Die exakte Schreibweise f\u00fcr das unbestimmte Integral ist {F(x) + C, C aus R}.<\/li>\n<\/ul>\n

    Fl\u00e4chenberechnung<\/strong><\/p>\n

      \n
    • Nicht unbedingt selbstverst\u00e4ndlich oder von vornherein klar ist, dass die Berechnung von Fl\u00e4chen etwas mit der Differentialrechnung bzw. ihrer Umkehrung (Stammfunktion) zu tun hat.<\/li>\n
    • Setzt man in eine Stammfunktion F(x) die beiden Grenzen eines Intervalls [a, b] ein, so erh\u00e4lt man die Fl\u00e4che zwischen x-Achse und f(x) im Intervall [a, b]:<\/li>\n
    • A[f(x), a, b] = F(b) \u2013 F(a), wobei F(x) interessanterweise die Stammfunktion ist!<\/li>\n
    • Daher ergibt sich der Geogebra-Befehl Integral[f,a,b] f\u00fcr die Fl\u00e4chenberechnung.<\/li>\n
    • Den Fl\u00e4cheninhalt nennt man bestimmtes Integral – obwohl das nicht das \u201eGegenteil\u201c vom unbestimmten Integral ist. Aber es ist das Integral in einem bestimmten Bereich.<\/li>\n
    • Fl\u00e4cheninhalte erhalten je nach Lage (oberhalb-, unterhalb der x-Achse) positive bzw. negative Vorzeichen. Das muss man bei der Berechnung von Fl\u00e4cheninhalten ber\u00fccksichtigen: Zuerst sind die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, dann wird jede Teilfl\u00e4che extra berechnet.<\/li>\n
    • Wenn man die Intervallgrenzen beim Fl\u00e4chenberechnen (un)absichtlich vertauscht, \u00e4ndert sich das Vorzeichen des Fl\u00e4cheninhalts. Das Vorzeichen kann man mit dem physikalischen Begriff des positiven bzw. negativen Drehsinns beim Berechnen deuten.<\/li>\n
    • Positive und negative Fl\u00e4cheninhalte k\u00f6nnen auch in Anwendungsgebieten sinnvoll gedeutet werden, etwa als Ergebnis von positiven oder negativen Bankkontobewegungen (pro Tag). Die relative Gesamtfl\u00e4che (negative Fl\u00e4chen werden negativ gerechnet) gibt dann den Kontostand am Ende der Bewegungen an. In diesem Sinn spricht man beim bestimmten Integral auch vom \u00c4nderungs-Effekt.<\/li>\n<\/ul>\n

      Die symbolische Schreibweise<\/strong><\/p>\n

        \n
      • Die symbolische Schreibweise des Integrals kommt von der Idee, beim Berechnen krummer Fl\u00e4chen viele kleine Balken mit Breite &#916;x und H\u00f6he f(xi) zu berechnen. Die Summe dieser Balken n\u00e4hert sich der Gesamtfl\u00e4che umso besser, umso kleiner (und mehr) die Balken sind.\n

        \"\"<\/p>\n<\/li>\n

      • Diese endlich vielen Balken k\u00f6nnen unterhalb oder oberhalb der Funktion angelegt werden, man spricht dann von Untersumme und Obersumme. Der Mittelwert zwischen Untersummen und Obersumme gibt den Fl\u00e4cheninhalt noch genauer an (numerisches N\u00e4herungsverfahren, numerische Integration).<\/li>\n
      • Bildet man aber unendlich viele unendlich schmale Balken, kann man sie zwar nicht mehr wie \u00fcblich addieren, mit Hilfe der Grenzwert-Rechnung kann aber die Fl\u00e4che berechnet werden.\n

        \"\"<\/p>\n<\/li>\n

      • Das stilisierte S verweist auf das Summenzeichen und symbolisiert eine Summe aus unendlichen vielen Teilen, f(x) symbolisiert die Balkenh\u00f6hen an jedem x-Wert, dx symbolisiert unendlich kleine Balkenbreiten.<\/li>\n
      • Numerische Integrationsverfahren (Balkensummen, Trapezsummen) sind f\u00fcr jene Funktionen n\u00f6tig, f\u00fcr deren Stammfunktion es keinen Funktionsterm gibt, oder wenn die Berechnung zu kompliziert ist, oder eine N\u00e4herungsl\u00f6sung gen\u00fcgt.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        Umkehrung der Differentialrechnung Die Stammfunktion ist eine (beliebige) Funktion F(x) die f(x) als Ableitung hat. Es gibt zu f(x) unendliche Stammfunktionen, weil die Integrationskonstante C beim Ableiten verschwindet. Die Menge aller Stammfunktionen ist grafisch eine Kurvenschar und hei\u00dft unbestimmtes Integral. Die exakte Schreibweise f\u00fcr das unbestimmte Integral ist {F(x) + C, C aus R}. Fl\u00e4chenberechnung […]<\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[26],"tags":[],"class_list":["post-227","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-integralrechnung"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/227","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=227"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/227\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1135,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/227\/revisions\/1135"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=227"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=227"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=227"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}