Bevor man eine Statistik erheben und auswerten m\u00f6chte, braucht man Klarheit \u00fcber die Art des Datenmaterials. Wir unterscheiden:<\/p>\n
Je nach Skala k\u00f6nnen verschiedene statistische Werte berechnet werden.<\/p>\n
Zentralma\u00dfe<\/strong> Intuitiv argumentiert man (auch im Privatleben) mit dem geeigneten Mittelwert: Sch\u00fcler\/innen verteidigen ihre Note damit, dass die meisten die gleiche Note haben<\/em> (Modalwert), dass ich genau in der Mitte liege<\/em> (Median), oder dass ich (knapp) \u00fcber dem Durchschnitt bin<\/em> (arithmetisches Mittel).<\/p>\n Bei einer Nominalskala ist nur der Modalwert sinnvoll, f\u00fcr den Median ist zumindest Ordinalskal n\u00f6tig und das arithmetische Mittel gibt erst ab Intervallskalenniveau eine sinnvolle Aussage.<\/p>\n Der Median wird von stark abweichenden Daten nicht beeinflusst, das arithmetische Mittel jedoch schon. Das zeigt auch, dass in F\u00e4llen stark abweichender Daten (vor allem wenn sie in eine Richtung abweichen), neben dem arithmischen Mittel der Median eine wichtige Gr\u00f6\u00dfe ist. So wird beispielsweise beim Durchschnittseinkommen einer Bev\u00f6lkerung das Median-Einkommen angegeben, weil es jenes Einkommen ist, das die Bev\u00f6lkerung in zwei gleich gro\u00dfe H\u00e4lften teilt: die eine H\u00e4lfte verdient mehr, die andere weniger als das Median-Einkommen. Das arithmetische Mittel w\u00fcrde durch wenige extreme Spitzenverdiener stark verf\u00e4lscht.<\/p>\n Der Median ist einfacher zu ermitteln, weil man nichts rechnen muss, das arithmetische Mittel hingegen n\u00fctzt die Dateninformation effizienter: Die Abweichungen spielen eine Rolle.<\/p>\n Streuungsma\u00dfe<\/strong> Die Standardabweichung<\/em> ist etwas komplizierter zu berechnen: Man bildet die Abweichungen der einzelnen Daten vom arithmetischen Mittel und quadriert diese Abweichungen. Von der Summe der Quadrate zieht man die Wurzel. Die Standardabweichung ist demnach die Wurzel der Summe der quadrierten Abweichungen vom arithmetischen Mittel. Die Standardabweichung ist das Abweichungsma\u00df f\u00fcr das arithmetische Mittel. Durch das Quadrieren der Abweichungen vom arithmetischen Mittel werden gro\u00dfe Abweichungen st\u00e4rker gewichtet<\/em> als kleine Abweichungen – das zeichnet die Standardabweichung als statistische Gr\u00f6\u00dfe aus.<\/p>\n Zur Interpretation der Standardabweichung<\/em> l\u00e4sst sich noch folgendes sagen: Unter bestimmten Voraussetzungen (kleinere Abweichungen sind h\u00e4ufiger als gr\u00f6\u00dfere Abweichungen und die Abweichungen sind in beide Richtungen etwa gleich h\u00e4ufig, es wurden mindestens etwa 100 Daten erhoben) gibt die Standardabweichung eine klare Auskunft \u00fcber die Datenverteilung: Die Methode, die Differenzen der Daten (hier: vom arithmetischen Mittel) zu quadrieren, spielt auch in anderen mathematischen Gebieten eine wichtige Rolle: unter anderem bei der Methode der kleinsten Quadrate<\/em> zum Auffinden einer linearen N\u00e4herungs-Funktion, die durch Punkte gegeben ist und bei der Methode der kleinsten Quadrate<\/em> f\u00fcr die Berechnung der N\u00e4herungs-W\u00e4hlerstrommatrix bei der Wahlhochrechnung (Siehe Men\u00fcpunkt Matrizen<\/a>). Es handelt sich hierbei nat\u00fcrlich immer um dieselbe Methode der kleinsten Quadrate<\/em> und das arithmetische Mittel ist tats\u00e4chlich jener Wert, zu dem die Summe der Quadrierten Datenabst\u00e4nde am kleinsten ist.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Bevor man eine Statistik erheben und auswerten m\u00f6chte, braucht man Klarheit \u00fcber die Art des Datenmaterials. Wir unterscheiden: Skalierungsarten Nominalskala: Namen, z.B. Haarfarbe; es gibt keine Rangordnung. Ordinalskala: Geordnete Klassifikation, z.B. Schulnoten, Schulbildung: VS – HS – HAK – UNI. Intervallskala: Differenzenvergleich kann durchgef\u00fchrt werden, etwa bei Temperatur, IQ. Proportional-(Verh\u00e4ltnis-)skala: Werte sind auf einen absoluten […]<\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[21],"tags":[],"class_list":["post-220","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statistik"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/220","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=220"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/220\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":679,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/220\/revisions\/679"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=220"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=220"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=220"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\nDie Mittelwerte bzw. Zentralma\u00dfe wollen das Zentrum der Daten angeben: der Modalwert<\/em> ist der h\u00e4ufigste Wert, der Median<\/em> der Wert in der Mitte der sortierten Datenreihe und das arithmische Mittel<\/em> (der umgangsprachliche Durchschnitt) die Summe der Daten geteilt durch die Anzahl.<\/p>\n
\nDie Streuungs- oder Abweichungsma\u00dfe wollen eine Aussage \u00fcber die Abweichung der Daten vom Zentrum<\/em> geben. Die Spannweite<\/em> gibt ist die Differenz zwischen gr\u00f6\u00dfter und kleinster Zahl der Daten, die Quartile teilen die sortierten Daten in vier gleich gro\u00dfe Teile, der Median ist in der Mitte und die Quartile geben die Grenzen f\u00fcr diese vier Gruppen an – es werden also von den beiden Gruppen, die der Median bildet, nochmals die Mediane berechnet. Die Quartile sind das Abweichungsma\u00df f\u00fcr den Median. Anstelle der Quartile kann man auch Dezile<\/em> ermitteln.<\/p>\n
\n68% der Daten befinden sich im Intervall Mittelwert plus\/minus einfache Standardabweichung,
\n95% der Daten befinden sich im Intervall Mittelwert plus\/minus zweifache Standardabweichung,
\n99% der Daten befinden sich im Intervall Mittelwert plus\/minus dreifache Standardabweichung.
\nVon dieser Standardisierung<\/em> (die Prozents\u00e4tze und die Vielfachen der Standardabweichung sind ja unabh\u00e4ngig von Ma\u00dfeinheiten und Gr\u00f6\u00dfenordnungen!) hat die Standard<\/em>abweichung ihren Namen. Diese Verteilung von Daten wird durch die Normalverteilung<\/em> beschrieben.<\/p>\n