{"id":214,"date":"2006-12-17T18:39:27","date_gmt":"2006-12-17T17:39:27","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jomo.org\/?p=214"},"modified":"2021-05-20T12:22:14","modified_gmt":"2021-05-20T11:22:14","slug":"drehung-von-figuren-im-koordinatensystem-drehmatrizen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/drehung-von-figuren-im-koordinatensystem-drehmatrizen","title":{"rendered":"Drehung von Figuren im Koordinatensystem – Drehmatrizen"},"content":{"rendered":"

Thema<\/strong><\/p>\n

Ein Quadrat im Koordinatensystem mit den Koordinaten (1|1), (5|1), (1|5) und (5|5) soll um 30\u00b0 gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden. Der Drehpunkt ist (0|0).<\/p>\n
    \n
  1. L\u00f6se das Problem mit Hilfe einer genauen Zeichnung graphisch!<\/li>\n
  2. \u00dcberlege anhand deiner Zeichnung, wie dieses Problem mit Hilfe von Winkelfunktionen auch rechnerisch gel\u00f6st werden kann!<\/li>\n
  3. Versuche, diese Probleml\u00f6sung f\u00fcr beliebige Punkte und Winkel zu verallgemeinern!<\/li>\n
  4. Erfinde weitere Aufgaben mit Figuren, die gedreht werden!<\/li>\n
  5. Erstelle ein Arbeitsblatt in EXCEL, das die Aufgabe der Drehung einer Figur bei Eingabe eines Drehwinkels simuliert!<\/li>\n<\/ol>\n

    Anleitung<\/strong>
    \nDas Problem kann mit Hilfe der Polarkoordinaten<\/em> oder mit Hilfe von Drehmatrizen<\/em> gel\u00f6st werden.<\/p>\n

    Polarkoordinaten<\/strong>
    \nDie Ausgangspunkte werden in Polarkoordinatenform (a<\/span>1<\/sub>,r) verwandelt, zum Winkel a<\/span>1<\/sub> wird der Winkel a<\/span> addiert. Die Koordinaten des so gedrehten Punktes werden in rechtwinkelige Koordinaten verwandelt. Diese Variante ist unmittelbar einsichtig und bedarf keiner Kenntnis von (Dreh-)Matrizen. Allerdings sind Kenntnisse der komplexen Zahlen und der Winkelfunktionen n\u00f6tig.<\/p>\n

    Drehmatrix<\/strong>
    \nEin Punkt (als Teil einer Figur) kann auch mit Hilfe von Matrizenmultiplikation gedreht werden. Die entsprechende Matrix hei\u00dft Drehmatrix (Drehwinkel a<\/span>).<\/p>\n

    \"\"
    \nAbb. 1<\/em><\/p>\n

    Die \u00c4quivalenz mit der Berechnung mit Hilfe der Polarkoordinaten wird durch die Additionstheoreme der Winkelfunktionen gezeigt:<\/p>\n

    \"\"
    \nAbb. 2<\/em><\/p>\n

    Wie kommt man eigentlich zur Drehmatrix? Ganz einfach: Aus den Gleichungen f\u00fcr die x- und y-Koordinaten der letzten Umformung kann die Drehmatrix entnommen werden.<\/p>\n

    \"\"
    \nAbb. 3<\/em><\/p>\n

    xls: Drehung mit Polarkoordinaten und Matrizen<\/em><\/a><\/p>\n

    Verallgemeinerung und weitere Fragestellungen f\u00fcr Spezialisten
    \n<\/strong><\/p>\n

      \n
    1. Erg\u00e4nze die Drehung mit einem Streckungsfaktor zu einer Drehstreckung!<\/li>\n
    2. Erweitere die Drehung f\u00fcr einen beliebigen Drehpunkt im Koordinatensystem!<\/li>\n
    3. Erg\u00e4nze Drehung und Streckung mit der Spiegelung um die x- oder y-Achse!<\/li>\n
    4. Erweitere die Spiegelung um parallele Gerade zu den Achsen als Spiegelungsachsen!<\/li>\n
    5. Erweitere das Modell der Spiegelung um beliebige Geraden als Spiegelungsachsen!<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Thema Ein Quadrat im Koordinatensystem mit den Koordinaten (1|1), (5|1), (1|5) und (5|5) soll um 30\u00b0 gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden. Der Drehpunkt ist (0|0). L\u00f6se das Problem mit Hilfe einer genauen Zeichnung graphisch! \u00dcberlege anhand deiner Zeichnung, wie dieses Problem mit Hilfe von Winkelfunktionen auch rechnerisch gel\u00f6st werden kann! Versuche, diese Probleml\u00f6sung f\u00fcr beliebige […]<\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[13],"tags":[],"class_list":["post-214","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matrizen"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/214","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=214"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/214\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":941,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/214\/revisions\/941"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=214"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=214"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=214"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}