{"id":194,"date":"2006-06-19T18:22:29","date_gmt":"2006-06-19T17:22:29","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jomo.org\/?p=194"},"modified":"2010-05-06T17:14:52","modified_gmt":"2010-05-06T16:14:52","slug":"die-logik-der-gausschen-zahlenebene-fur-komplexe-zahlen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/die-logik-der-gausschen-zahlenebene-fur-komplexe-zahlen","title":{"rendered":"Die Logik der Gau\u00dfschen Zahlenebene f\u00fcr komplexe Zahlen"},"content":{"rendered":"<p>Ausgehend von der Zahlengeraden kann man die Grundrechnungsarten als Operationen mit Pfeilen interpretieren: Pfeile werden addiert, subtrahiert, gestreckt und gestaucht, und um 180\u00b0 in die entgegengesetzte Richtung gerichtet (Multiplikation einer Zahl mit -1).<\/p>\n<div>\n<p style=\"margin: 0px;\" align=\"left\"><img decoding=\"async\" style=\"max-width: 100%; margin-bottom: 5px;\" src=\"http:\/\/jomo.org\/edu\/grafiken\/78.jpg\" alt=\"\" \/><br \/>\n<em>Die Entstehung der komplexen Zahlenebene<\/em><\/p>\n<p>Bei Mehrfachmultiplikation mit -1 wird der Pfeil zweimal gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Die ganzzahligen Potenzen von -1 als Drehung um jeweils 1mal, 2mal, etc um 180\u00b0 Drehung nach links. Die Wurzel aus -1 k\u00f6nnte in Analogie als halbe Drehung ((-1)<sup>1\/2<\/sup>, also um Drehung um nur 90\u00b0 interpretiert werden. Diese sinnvolle und (ana)logische Erweiterung dieses Operatoren-Konzeptes f\u00fchrt aus der Zahlengerade hinaus in die Zahlebene. Den Zielpunkt der Operation Wurzel(-1) nennt man i (imagin\u00e4re Einheit), bei Wurzel(-2) steht dann 2i, etc. Auf diese Weise entsteht die imagin\u00e4re Zahlenachse in Erg\u00e4nzung zur reellen Zahlenachse (der \u00fcblichen Zahlengeraden).<\/p>\n<p>Zahlen in der Ebene, die duch die beiden Achsen aufgespannt wird, hei\u00dfen <em>komplexe Zahlen<\/em>, sind also zusammengesetzte Zahlen.<\/p>\n<p style=\"margin: 0px;\" align=\"left\"><img decoding=\"async\" style=\"max-width: 100%; margin-bottom: 5px;\" src=\"http:\/\/jomo.org\/edu\/grafiken\/79.jpg\" alt=\"\" \/><br \/>\n<em>Addition zweier komplexer Zahlen<\/em><\/p>\n<p>Rechnen mit komplexen Zahlen kann ebenfalls als Operation mit Pfeilen gedeutet werden: Pfeile in unterschiedlicher L\u00e4nge in unterschiedliche Richtungen werden entsprechend gerichtet aneinandergef\u00fcgt, das Ergebnis ist der Pfeil vom Koordinatenursprung zum Zielpunkt.<\/p>\n<p>Die komplexen Zahlen k\u00f6nnen verschieden notiert werden, je nachdem, in welchem Zusammenhang man sie sieht bzw. verwendet:<br \/>\nDie Schreibweise 4+2i deutet noch auf die Herkunft der Wurzel aus einer negativen Zahl hin, die Schreibweise (4, 2) deutet auf die Verwendung im geometrischen Kontext hin.<\/p>\n<p>Anwendungen wie die Kr\u00e4ftephysik mit dem Kr\u00e4fteparallelogramm zeigen, dass diese Zahlenerweiterung nicht nur geometrisch, sondern auch inhaltlich Sinn macht. Rechnen mit 2-dim-Vektoren kann als Rechnen mit komplexen Zahlen interpretiert werden.<\/p>\n<p><strong>Einige Konsequenzen und Fragestellungen<\/strong><\/p>\n<p>Imagin\u00e4re bzw. Komplexe Zahlen sind weder positiv noch negativ, weil sie nicht auf der Zahlengeraden liegen.<\/p>\n<p>Der Gr\u00f6\u00dfenvergleich komplexer Zahlen muss neu definiert werden: Jene komplexe Zahl ist gr\u00f6\u00dfer als eine andere, deren Abstand zum Koordinatenursprung (das nennt man Betrag der Zahl z) gr\u00f6\u00dfer ist.<\/p>\n<p><strong>\u00dcberlege:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Wie kann man komplexe Zahlen multiplizieren, wie potenzieren? Kann auch der Exponent in einer Potenz eine komplexe Zahl sein? Ist das Ergebnis der Rechnung mit komplexen Zahl immer eine komplexe Zahl oder m\u00fcssen wir den Zahlenbereich immer wieder erweitern?<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>\u00dcberlege:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Wie ver\u00e4ndert sich Funktionsbegriff, wenn als Grundmenge f\u00fcr die x-Werte nicht die Zahlengerade, sondern die komplexe Zahlebene verwendet wird? (Stichwort: komplexen Funktionentheorie).<\/li>\n<li>Wie sollen wir solche komplexen Funktionen zeichnen?<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ausgehend von der Zahlengeraden kann man die Grundrechnungsarten als Operationen mit Pfeilen interpretieren: Pfeile werden addiert, subtrahiert, gestreckt und gestaucht, und um 180\u00b0 in die entgegengesetzte Richtung gerichtet (Multiplikation einer Zahl mit -1). Die Entstehung der komplexen Zahlenebene Bei Mehrfachmultiplikation mit -1 wird der Pfeil zweimal gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Die ganzzahligen Potenzen von -1 [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[20],"tags":[],"class_list":["post-194","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-komplexe-zahlen"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/194","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=194"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/194\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":591,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/194\/revisions\/591"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=194"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=194"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=194"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}