{"id":125,"date":"2006-11-10T15:45:33","date_gmt":"2006-11-10T14:45:33","guid":{"rendered":"http:\/\/www.jomo.org\/?p=125"},"modified":"2009-11-26T15:57:38","modified_gmt":"2009-11-26T14:57:38","slug":"lernziele-zur-vertiefung-der-exponentialfunktion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/lernziele-zur-vertiefung-der-exponentialfunktion","title":{"rendered":"Lernziele zur Vertiefung der Exponentialfunktion"},"content":{"rendered":"

Lernziele Vertiefung der Exponentialfunktion<\/strong><\/p>\n

Das allgemeine Bildungsgesetz (Funktionsterm) kann auch anders ausgedr\u00fcckt werden:<\/p>\n

1: N(t) = N0<\/sub>at<\/sup>
\n2: N(t) = N0<\/sub>e\u03bb<\/span>t<\/sup>
\n3: N(t) = N0<\/sub>10kt<\/sup> bzw. N(t) = 10kt+d<\/sup>
\nDie drei Varianten des Bildungsgesetzes haben jeweils ihre Berechtigung:<\/p>\n

Fall 1 gibt in Faktor a an, auf wie viel Prozent der Anfangsbestand in einer Einheit gestiegen\/gefallen ist. Der Faktor a ist zwischen 0 und 1 (Abnahme) oder gr\u00f6\u00dfer als 1 (Wachstum).<\/p>\n

Fall 2 gibt mit dem Faktor \u03bb<\/span> das momentane Wachstum in Prozent an. Der Faktor \u03bb<\/span><\/span> ist negativ (Abnahme) oder positiv (Wachstum). Die Bedeutung der Basis e wird aber erst beim Kapitel Differentialrechnung transparent.<\/p>\n

Fall 3 zeigt im Exponenten den Term einer linearen Funktion und ist f\u00fcr die grafische Darstellung von Exponentialfunktionen von Bedeutung. Da die Exponentialfunktionen sehr stark steigen (oder fallen), k\u00f6nnen bei der herk\u00f6mmlichen Darstellung im Bereich kleiner t und gro\u00dfer t nicht gleichzeitig sinnvoll Daten verglichen werden. Skaliert man nun die y-Werte statt 0, 1, 2, 3 mit 100, 101, 102, (weil y = 10kt+d<\/sup>), so kann man die Exponentialfunktion grafisch mit Hilfe der Geradengleichung im Exponenten darstellen. Diese Darstellungsform hat eine wichtige Konsequenz: Nicht alles, was wie eine lineare Funktion (Gerade) aussieht, ist auch eine Gerade \u2013 man muss immer vorher auf die Skalierung der y-Achse achten. Diese Art der Skalierung nennt man \u00fcbrigens logarithmische Skalierung (der y-Achse).<\/p>\n

Berechnen kannst du die Aufgaben immer mit der ersten Variante, die anderen Varianten ermittelst du mit \u03bb<\/span> = ln(a), k = log(a), d = log(N0<\/sub>).<\/p>\n

Einen Spezialfall stellt die Abnahme von Temperaturen dar: Die Temperatur einer Fl\u00fcssigkeit k\u00fchlt nicht auf 0\u00b0 aus, auf Umgebungstemperatur (TU<\/sub>). Durch Verschieben der Kurve im Koordinatensystem kannst du dir folgende Formel erkl\u00e4ren: T(t) = (T0<\/sub>-TU<\/sub>)at<\/sup> + TU<\/sub>.<\/p>\n

\u00dcbungsanregung Vertiefung der Exponentialfunktion<\/strong><\/p>\n

    \n
  • Stelle die Funktionsterme der Aufgaben der \u00dcbungszettel in allen drei Varianten dar!<\/li>\n
  • Zeichne die Funktion mancher dieser Funktionen sowohl in der \u00fcblichen Skalierung als auch mit logarithmisch skalierter y-Achse (in einem eigenen Koordinatensystem) und versuche, auch daraus Werte abzulesen.<\/li>\n
  • Erfinde eigene Beispiele zur Abnahme von Temperaturen. Mache eventuell Versuche mit verschiedenen Fl\u00fcssigkeiten, Gef\u00e4\u00dfen oder Umgebungstemperaturen!<\/li>\n
  • Recherchiere im Internet nach weiteren Anwendungsgebieten der Exponentialfunktion und fasse deine Ergebnisse verst\u00e4ndlich und \u00fcbersichtlich zusammen!<\/li>\n<\/ul>\n

    \u00dcbe gerade soviel, dass du die Aufgaben verstehst und ohne gro\u00dfe M\u00fche fehlerfrei l\u00f6sen kannst.
    \n\u00dcbe gemeinsam mit anderen die gleichen Aufgaben, damit du die Schritte gut vergleichen kannst.<\/p><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Lernziele Vertiefung der Exponentialfunktion Das allgemeine Bildungsgesetz (Funktionsterm) kann auch anders ausgedr\u00fcckt werden: 1: N(t) = N0at 2: N(t) = N0e\u03bbt 3: N(t) = N010kt bzw. N(t) = 10kt+d Die drei Varianten des Bildungsgesetzes haben jeweils ihre Berechtigung: Fall 1 gibt in Faktor a an, auf wie viel Prozent der Anfangsbestand in einer Einheit gestiegen\/gefallen […]<\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-125","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-exponentielle-vorgange"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/125","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=125"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/125\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":141,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/125\/revisions\/141"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=125"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=125"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.jomo.org\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=125"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}