Hinweis: Mit einigem Erstaunen beobachtete ich vor Jahren meinen Dachdecker, als er bei der Berechnung der Dachfläche lediglich die Projektionslänge des geneigten Daches am Boden (Abstand von der Mitte des Daches (Firsthöhe) bis zur Außenmauer gemessen hat. Auf die Frage, wie er daraus mit dem Taschenrechner die Dachfläche errechnet antwortete er: Standardneigung des Daches, Cosinus. Damit war alles klar.

Arbeitsanregungen
Berechne die Größe der einzelnen Teilflächen sowie die Längenmaße der benötigten Platte, wenn ein Neigungswinkel des Schreibtisches 30° ist.

Führe diese Berechnung für verschiedene Winkel aus und überprüfe, ob sich der Gesamtflächeninhalt verändert!

Um diese Problemstellung flexibler bzw. dynamischer zu lösen, könnte man ein Arbeitsblatt mit einer Tabellenkalkulation gestalten, die das Problem rechnerisch und grafisch löst, wenn man den Winkel verändert. Der folgende Screenshot zeigt, wie ich das Problem gelöst habe.

Der Winkel alpha kann in Zelle B4 geändert werden oder mit Hilfe des Drehfeldes. Damit Schreibtische anderer Größe auch angepasst werden können, habe ich die Länge und Breite des Schreibtisches ebenfalls als Variable aufgenommen (B5, B6).

Hinweis: Die Winkelfunktionen in Excel funktionieren mit dem Bogenmaß. Das heißt, der Winkel muss ins Bogenmaß umgerechnet werden. Das geschieht über die Beziehung alpha = 2Pi/360 = Pi/180, ein Winkel alpha muss mit PI()/180 multipliziert werden, die Zahl Pi erhält man mit PI().

xls: Eckschreibtisch-Animation

Sind beispielsweise die Hypothenuse und der Winkel Alpha (sowie der rechte Winkel) gegeben, dann läßt sich so rechnen:

G:H = sin(a)

Setzt man die Werte für H und Alpha ein, erhält man die Länge von G.
A kann dann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras oder mit Hilfe von

A:H = cos(a)

berechnet werden.

Arbeitsanregung
Setze verschiedene rechtwinkelige Dreiecke, bei denen nur eine Seitenlänge gegeben ist und berechne mit Hilfe der Seitenverhältnisse sin, cos oder tan die übrigen Seitenlängen.

Faustregel
Ist die Hypothenuse bekannt, wird mit sin oder cos gerechnet, ist die Hypothenuse unbekannt, wird der tan verwendet!

Merke
Sinus, cosinus und Tangens heißen Winkelfunktionen, weil ihre Größe als abhängig vom Winkel Alpha definiert ist.

Skizze: Hypothenuse, Gegenkathete, Ankathete bzw. Strahlensatz

Untersucht man diesen Zusammenhang etwas systematischer, so kann man folgende Sachverhalte feststellen und definieren:

• Wird der Winkel Alpha größer (von 0° bis 90°), so wird auch das Verhältnis G:H größer, es erhält Werte von 0 bis 1.
• Wird der Winkel Alpha größer (von 0° bis 90°), so wird das Verhältnis A:H kleiner, es erhält Werte von 1 bis 0.
• Aufgrund des Satzes von Pythagoras gilt: (G:H)² + (A:H)² = 1.
• Wird der Winkel Alpha größer (von 0° bis 90°), so wird das Verhältnis von G:A größer, ist allerdings bei 90° nicht mehr definiert (da hier A=0).

Historisch hat sich die Verwendung genau dieser genannten Seitenverhältnisse durchgesetzt. Diese Seitenverhältnisse wurden folgendermaßen benannt: (a steht für Alpha)

G:H heißt Sinus von Alpha: sin(a),
A:H heißt Cosinus von Alpha: cos(a),
G:A heißt Tangens von Alpha: tan(a).

G:A als tan(a) beschreibt übrigens die Steigung einer Geraden.

Begriffe
G ist die Winkel a gegenüberliegende Seite, A die dem Winkel a anliegende Seite. H ist die Hypothenuse, die längste Seite im rechtwinkeligen Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Arbeitsanregung

1. Skizziere ein paar rechtwinkelige Dreieecke und benenne H, G, A und a. Gib an, welche Seitenverhältnisse Sinus, Cosinus und Tangens beschreiben!
2. Zeichne je ein rechtwinkeliges Dreieck mit H=10cm, H=5cm, H=3cm und Winkel a=30°. Berechne jeweils sin(a), cos(a) und tan(a) und beobachte, dass das Seitenverhältnis von der Länge der Hypothenuse abhängen.