Ein dreizehnjähriger Knabe stellt seine Eltern vor sein Taschengeldproblem. Er erzählt von einer Umfrage in seiner Klasse unter den 25 SchülerInnen und dass er mit seinen 13.- EUR pro Monat (fast) am unteren Rand liegt. Die meisten MitschülerInnen erhalten 30.-, im Durchschnitt sind das ungefähr 18.-.

Als damals betroffener Vater bzw. Mathematiklehrer kann ich das in dieser Darstellung nicht glauben. Im Folgenden sind die 25 Daten angegeben.

Monatliches Taschengeld von 25 13jährigen SchülerInnen in EUR
10.- 30.- 17.- 20.- 19.-
13.- 30.- 17.- 21.- 17,50
15.- 15.- 18.- 22.- 16,50
60.- 15.- 18.- 16.- 14.-
30.- 16.- 20.- 9.- 25.-

Anmerkung: Extraleistungen wie Grundgebühr für Mobiltelefone sind nicht eingerechnet und werden sehr unterschiedlich von den Eltern gehandhabt.

1. Nimm zu den Aussagen meines Sohnes aus Sicht der Zentralmaße der 25 Daten kurz Stellung!
2. Nimm in deine Analyse der Daten auch die Streuungsmaße auf und interpretiere diese Daten!
3. Teile die Daten in sinnvolle Klassen ein und erstelle ein Häufigkeitsdiagramm (Formel mit EXCEL) und stelle die Häufigkeitsverteilung ordentlich grafisch dar!
4. Welche Taschengeldhöhe findest du gerechtfertigt, begründe deine (sinnvolle) Entscheidung!
5. Was kann man für die Aussagekraft der Zentral- und Streuungswerte tun, wenn wie in diesem Fall der höchste und niedrigste Wert relativ stark von den anderen Werten abweichen und daher die Statistik zu stark beeinflussen? (Kurze klare Lösung in Worten)

Die Lösung der Datenanalyse befindet sich im File zum Download:

xls: Taschengeld Datenanalyse

Die unterschiedliche Klasseneinteilung zeigt die unterschiedliche Aussagekraft der jeweils gewählten Einteilung.

xls: Datenanalyse

Zur Häufigkeitsverteilung der Klassen möchte ich folgendes anmerken: Bevor die Formel =HÄUFIGKEIT(daten;G9:G13) eingegeben wird, muss der Bereich H9:H13 markiert werden. Dann wird die Formel eingegeben und mit CTRL+SHIFT+ENTER (WIN) bzw. APLLE*SHIFT*ENTER (Mac) abgeschlossen, das bewirkt, dass das ein Matrixbefehl wird.

Formeleingabe für die Häufigkeiten

Skalierungsarten
Nominalskala: Namen, z.B. Haarfarbe; es gibt keine Rangordnung.
Ordinalskala: Geordnete Klassifikation, z.B. Schulnoten, Schulbildung: VS – HS – HAK – UNI.
Intervallskala: Differenzenvergleich kann durchgeführt werden, etwa bei Temperatur, IQ.
Proportional-(Verhältnis-)skala: Werte sind auf einen absoluten Nullpunkt bezogen, Verhältnisse sind daher vergleichbar.

Je nach Skala können verschiedene statistische Werte berechnet werden.

Zentralmaße
Die Mittelwerte bzw. Zentralmaße wollen das Zentrum der Daten angeben: der Modalwert ist der häufigste Wert, der Median der Wert in der Mitte der sortierten Datenreihe und das arithmische Mittel (der umgangsprachliche Durchschnitt) die Summe der Daten geteilt durch die Anzahl.

Intuitiv argumentiert man (auch im Privatleben) mit dem geeigneten Mittelwert: Schüler/innen verteidigen ihre Note damit, dass die meisten die gleiche Note haben (Modalwert), dass ich genau in der Mitte liege (Median), oder dass ich (knapp) über dem Durchschnitt bin (arithmetisches Mittel).

Bei einer Nominalskala ist nur der Modalwert sinnvoll, für den Median ist zumindest Ordinalskal nötig und das arithmetische Mittel gibt erst ab Intervallskalenniveau eine sinnvolle Aussage.

Der Median wird von stark abweichenden Daten nicht beeinflusst, das arithmetische Mittel jedoch schon. Das zeigt auch, dass in Fällen stark abweichender Daten (vor allem wenn sie in eine Richtung abweichen), neben dem arithmischen Mittel der Median eine wichtige Größe ist. So wird beispielsweise beim Durchschnittseinkommen einer Bevölkerung das Median-Einkommen angegeben, weil es jenes Einkommen ist, das die Bevölkerung in zwei gleich große Hälften teilt: die eine Hälfte verdient mehr, die andere weniger als das Median-Einkommen. Das arithmetische Mittel würde durch wenige extreme Spitzenverdiener stark verfälscht.

Der Median ist einfacher zu ermitteln, weil man nichts rechnen muss, das arithmetische Mittel hingegen nützt die Dateninformation effizienter: Die Abweichungen spielen eine Rolle.

Streuungsmaße
Die Streuungs- oder Abweichungsmaße wollen eine Aussage über die Abweichung der Daten vom Zentrum geben. Die Spannweite gibt ist die Differenz zwischen größter und kleinster Zahl der Daten, die Quartile teilen die sortierten Daten in vier gleich große Teile, der Median ist in der Mitte und die Quartile geben die Grenzen für diese vier Gruppen an – es werden also von den beiden Gruppen, die der Median bildet, nochmals die Mediane berechnet. Die Quartile sind das Abweichungsmaß für den Median. Anstelle der Quartile kann man auch Dezile ermitteln.

Die Standardabweichung ist etwas komplizierter zu berechnen: Man bildet die Abweichungen der einzelnen Daten vom arithmetischen Mittel und quadriert diese Abweichungen. Von der Summe der Quadrate zieht man die Wurzel. Die Standardabweichung ist demnach die Wurzel der Summe der quadrierten Abweichungen vom arithmetischen Mittel. Die Standardabweichung ist das Abweichungsmaß für das arithmetische Mittel. Durch das Quadrieren der Abweichungen vom arithmetischen Mittel werden große Abweichungen stärker gewichtet als kleine Abweichungen – das zeichnet die Standardabweichung als statistische Größe aus.

Zur Interpretation der Standardabweichung lässt sich noch folgendes sagen: Unter bestimmten Voraussetzungen (kleinere Abweichungen sind häufiger als größere Abweichungen und die Abweichungen sind in beide Richtungen etwa gleich häufig, es wurden mindestens etwa 100 Daten erhoben) gibt die Standardabweichung eine klare Auskunft über die Datenverteilung:
68% der Daten befinden sich im Intervall Mittelwert plus/minus einfache Standardabweichung,
95% der Daten befinden sich im Intervall Mittelwert plus/minus zweifache Standardabweichung,
99% der Daten befinden sich im Intervall Mittelwert plus/minus dreifache Standardabweichung.
Von dieser Standardisierung (die Prozentsätze und die Vielfachen der Standardabweichung sind ja unabhängig von Maßeinheiten und Größenordnungen!) hat die Standardabweichung ihren Namen. Diese Verteilung von Daten wird durch die Normalverteilung beschrieben.

Die Methode, die Differenzen der Daten (hier: vom arithmetischen Mittel) zu quadrieren, spielt auch in anderen mathematischen Gebieten eine wichtige Rolle: unter anderem bei der Methode der kleinsten Quadrate zum Auffinden einer linearen Näherungs-Funktion, die durch Punkte gegeben ist und bei der Methode der kleinsten Quadrate für die Berechnung der Näherungs-Wählerstrommatrix bei der Wahlhochrechnung (Siehe Menüpunkt Matrizen). Es handelt sich hierbei natürlich immer um dieselbe Methode der kleinsten Quadrate und das arithmetische Mittel ist tatsächlich jener Wert, zu dem die Summe der Quadrierten Datenabstände am kleinsten ist.