Folgende Abbildung zeigt einen stark vergrößerten Ausschnitt einer digitalen Bilddatei, die einzelnen Pixel (Bildpunkte) sind sichtbar, in die drei Farbkanäle zerlegt und die Zahlenwerte sind angegeben: 0 bezeichnet einen dunklen Wert im jeweiligen Farbkanal, 255 den hellsten Wert.

Abbildung: Bild-Matrizen

Die Manipulation von digitalen Bilddaten geschieht sehr oft in Form geeigneter Matrizenmanipulation (Rotation, Verschiebung, Farbveränderung, …).

Ein Quadrat im Koordinatensystem mit den Koordinaten (1|1), (5|1), (1|5) und (5|5) soll um 30° gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden. Der Drehpunkt ist (0|0).

1. Löse das Problem mit Hilfe einer genauen Zeichnung graphisch!
2. Überlege anhand deiner Zeichnung, wie dieses Problem mit Hilfe von Winkelfunktionen auch rechnerisch gelöst werden kann!
3. Versuche, diese Problemlösung für beliebige Punkte und Winkel zu verallgemeinern!
4. Erfinde weitere Aufgaben mit Figuren, die gedreht werden!
5. Erstelle ein Arbeitsblatt in EXCEL, das die Aufgabe der Drehung einer Figur bei Eingabe eines Drehwinkels simuliert!

Anleitung
Das Problem kann mit Hilfe der Polarkoordinaten oder mit Hilfe von Drehmatrizen gelöst werden.

Polarkoordinaten
Die Ausgangspunkte werden in Polarkoordinatenform (a₁,r) verwandelt, zum Winkel a₁ wird der Winkel a addiert. Die Koordinaten des so gedrehten Punktes werden in rechtwinkelige Koordinaten verwandelt. Diese Variante ist unmittelbar einsichtig und bedarf keiner Kenntnis von (Dreh-)Matrizen. Allerdings sind Kenntnisse der komplexen Zahlen und der Winkelfunktionen nötig.

Drehmatrix
Ein Punkt (als Teil einer Figur) kann auch mit Hilfe von Matrizenmultiplikation gedreht werden. Die entsprechende Matrix heißt Drehmatrix (Drehwinkel a).

Abb. 1

Die Äquivalenz mit der Berechnung mit Hilfe der Polarkoordinaten wird durch die Additionstheoreme der Winkelfunktionen gezeigt:

Abb. 2

Wie kommt man eigentlich zur Drehmatrix? Ganz einfach: Aus den Gleichungen für die x- und y-Koordinaten der letzten Umformung kann die Drehmatrix entnommen werden.

Abb. 3

xls: Drehung mit Polarkoordinaten und Matrizen

Verallgemeinerung und weitere Fragestellungen für Spezialisten

1. Ergänze die Drehung mit einem Streckungsfaktor zu einer Drehstreckung!
2. Erweitere die Drehung für einen beliebigen Drehpunkt im Koordinatensystem!
3. Ergänze Drehung und Streckung mit der Spiegelung um die x- oder y-Achse!
4. Erweitere die Spiegelung um parallele Gerade zu den Achsen als Spiegelungsachsen!
5. Erweitere das Modell der Spiegelung um beliebige Geraden als Spiegelungsachsen!

1. Aus den Ergebnissen der vorigen Wahl und Annahmen über die Wählerströme können die Ergebnisse der neuen Wahlen hochgerechnet werden.

a. Interpretiere die einzelnen Prozentsätze der Wählerstrommatrix!
b. Berechne die prognostizierten Stimmen für die neue Wahl!

2. a. Versuche mit Hilfe gezielten Probierens, aus den beiden Ergebnissen zweier aufeinanderfolgender Wahlen die Wählerstrommatrix zu ermitteln! Begründe, für welche Ausgangsmatrix du dich entscheidest.
b. Versuche weiters, für die gleichen Daten eine andere Matrix zu finden um zu zeigen, daß die Ermittlung der Matrix (bei einem einzigen Wahlergebnis) nicht eindeutig ist!
c. Das Probieren geht mit Hilfe eines EXCEL-Arbeitsblattes schneller. Erstelle ein Modell für diese Matrizenmultiplikation in EXCEL! Hinweis: Die Zeile “C_neu” soll mit Hilfe einer Formel (Spaltensumme = 1) berechnet werden, Dateneingabe also nur in den Zeilen “A_neu” und “B_neu“.

3. Bei den folgenden Matrizen ist die Summe der Stimmen bei zwei aufeinanderfolgenden Wahlen ungleich groß. Die Matrizenmultiplikation kann daher nur eine Näherung an das neue Wahlergebnis bringen.

a. Berechne die prognostizierten Stimmen und vergleiche sie mit dem angegebenen Wahlergebnis!
b. Welche dieser drei Wählerstrommatrizen nähert das Verhalten der Wähler deiner Meinung nach am besten an? Begründe deine Entscheidung!

4. In den obigen Bespielen sind die Wählerströme in Prozent der Wähler gegeben.

a. Stelle die Wählerströme der obigen Beispiele auch in Anzahlen von Stimmen dar!
b. Stelle die Wählerströme in Stimmen als Balken- oder Säulendiagramm dar!
c. Erfinde ein Beispiel mit zwei größeren und einer kleinen Partei und stelle die Wählerströme auch in Stimmen dar. Was fällt dir auf?

5. Erstelle ein EXCEL-Modell, das für die Wahlergebnisse in drei Wahlsprengeln eine gemeinsame Wählerstrommatrix zugrundelegt! Multipliziere die Wählerstrommatrix mit den Stimmen der alten Wahl für jeden Wahlsprengel (1, 2, 3) und berechne die Abweichungen dieser Prognosen (Summe der Differenzen der Quadrate) vom tatsächlichen Ergebnis (Matrix “neue Wahl” für drei Sprengel).

Kannst du eine bessere Wählerstrommatrix finden?

6. a. Erstelle die Struktur einer Tabelle für Wählerstromanalysen mit fünf Parteien!
b. Berücksichtige auch Nichtwähler und Ungültigwähler!
c. Wie könntest du die Tabelle organisieren, um auch Aufschlüsse über Jungwähler zu erhalten?

7. Wir haben festgestellt, daß Wählerstromanalysen das Wählerverhalten nur näherungsweise wiedergeben. Nenne einige Probleme der Berechnung und formuliere die nötigen Vereinfachungen! Erwähne zumindest drei Problembereiche!

8. In drei Gemeinden (1 – 3) treten die drei Parteien A, B und C zur Wahl an. Die Ergebnisse der alten und der neuen Wahl können den nachstehenden Tabellen entnommen werden.

a. Ermittle eine Wählerstrommatrix, die für alle drei Gemeinden gut paßt!
b. Berechne die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen Prognose (Matrizenmultiplikation) und angegebenen Ergebnissen!
c. Stelle die Wählerströme graphisch dar (Säulen- oder Balkendiagramm)!

9. Erstelle ein Wählerstromanalyse-Modell für EXCEL (notfalls nur auf Papier mit den Formeln) und versuche ausgehend von deinen (politischen) Annahmen die Wählerstrommatrix 1991-1997 zu finden!

* Aus den Prozentsätzen 1991 und den Stimmen 1997 berechnet! Mit Hilfe dieser Vereinfachung (gleiche wahlwerbende Parteien und Stimmenanzahl) läßt sich einfacher eine Wählerstrommatrix finden.
Als Datengrundlage dienen die Gesamtergebnisse der Landtagswahlen 1991* und 1997 (einfaches Modell):

10.a. Erkläre jemandem (Familie, Freundeskreis), was Wählerstromanalysen sind, wie und warum sie gemacht werden! Halte deine Erklärung und die Verstehensprobleme deines Gesprächspartners in Stichworten fest!
b. Fasse das wichtigste über Wählerstromanalysen mit Beispielen übersichtlich zusammen!

11. Für politisch besonders Interessierte: Besorge dir die Ergebnisse der letzten beiden Gemeinderatswahlen (nach Wahlsprengel). Die Ergebnisse sind bei den Gemeindeämtern zu erhalten. Erstelle mit den Daten ein Modell für eine Wählerstromanalyse und führe die Analyse (SOLVER) durch. Überprüfe, ob die Ergebnisse auch politisch plausibel sind.

Die Wählerstromanalysen mit Hilfe von Wählerstrommatrizen sind ein vereinfachtes Abbild der Wirklichkeit. Dem Modell liegen einige Vereinfachungen und Annahmen zugrunde, die hier aufgezählt sind. Je nach Zweck der Analyse kann man verschiedene Grade der Vereinfachung (Nicht-, Ungültig-, Jungwähler/innen) wählen.

1. Das hier vorliegende rechnerische Modell der Wählerstromanalyse setzt voraus, daß das Wählerstromverhalten in allen berücksichtitgten Wahlsprengel (bzw. Gemeinden, Bundesländer) gleich ist. Das heißt: Die Prozentsätze an Wählerstimmen, die zwischen den Parteien ausgetauscht werden, sind in allen Wahlsprengel (Gemeinden, …) gleich.

2. An beiden Wahlen nehmen die selben Wähler teil. Wählen Jungwähler/innen anders als Verstorbene, so ergibt das einen scheinbaren Wählerstrom. Veränderungen durch Wohnsitzwechsel werden ebenfalls nicht berücksichtigt.

3. Nichtwähler/innen und Ungültigwähler/innen können wie eine eigene Partei behandelt werden.

4. Ändert sich die Zahl der Wahlberechtigten, so können die zusätzlichen Wahlberechtigten in einem angepaßten Modell annähernd berücksichtigt werden und Rückschlüsse auf das Wahlverhalten der Jungwähler/innen gemacht werden.

5. Die Wählerstrommatrix gibt die Prozentsätze der Stimmen an. Für die Verwendung bei Wahlhochrechnung genügt das. Für politischen Analysen ist natürlich die Anzahl der “strömenden” Stimmen von größerer Bedeutung.

6. Gibt es von einem Wahlsprengel (Gemeinde, Bundesland) noch keine Ergebnisse, so werden diese – laut Vereinfachung von 1. – aus den Ergebnissen der anderen Sprengel (Nachbargemeinden, -bundesländer) geschätzt.

Weitere Informationen über Wählerstromanalysen und Prognosen im Internet: http://sunsite.univie.ac.at/Austria/elections/

Dabei sind zwei Fragestellungen möglich:

1. Ausgehend vom alten Wahlergebnis und der Kenntnis (oder Annahme) der Wählerströme kann das neue Ergebnis ermittelt werden.

2. Umgekehrt können Rückschlüsse auf die Wählerstrommatrix gemacht werden, wenn das alte und das neue Wahlergebnis bekannt sind.

Demnach werden Wählerstromanalysen in zwei Bereichen eingesetzt:

1. Sind die neuen Wahlergebnisse da, werden Wählerströme berechnet und politische Analysen gemacht. Für die Parteien ist es natürlich interessant und mitunter nützlich zu wissen, an wen sie Stimmen verlieren, von wem sie Stimmen gewinnen, wie diszipliniert die (Stamm-)Wähler/innen sind, wie viele der eigenen Wähler/innen ungültig oder gar nicht gewählt haben.

2. Am Wahlabend werden Wahlhochrechnungen gemacht, denen ebenfalls Wählerstromanalysen zugrunde liegen. Etwas vereinfacht dargestellt: Sind die Ergebnisse einiger Gemeinden (etwa bei Nationalrats- oder Landtagswahlen) bekannt, so werden die Wählerströme berechnet. Mit Hilfe dieser Wählerströme wird unter der Annahme gleicher Wählerströme für die ganzen Wähler/innen das vermutliche (”vorläufige”) Wahlergebnis berechnet.

Das zur Berechnung nötige mathematische Verfahren ist die Multiplikation von Matrizen.

Die Berechnung des neuen Ergebnisses aus dem vorliegendem alten Ergebnis und der Wählerstrommatrix ist kein Problem. Für die Umkehrung dieser Rechnung – die Ermittlung der Wählerstrommatrix – ist allerdings bereits ein Computer mit entsprechender Software nötig. Einfache Modelle können auch ohne Computer berechnet werden.

Mit der Tabellenkalkulation EXCEL kann man mit Hilfe des SOLVERs ein Modell erstellen, das für (nicht allzuviele Wahlsprengel, Gemeinden) Wählerströme ermittelt: Es wird eine Matrix ermittelt, die für die angegebenen Gemeinde (alte und neue Wahlergebnisse) eine bestmögliche gemeinsame Wählerstrommatrix darstellt.

Der Rechenvorgang ist folgender: Aus den alten Ergebnisse und einer gemeinsamer Wählerstrommatrix (Annahme treffen, eventuell “Einheitsmatrix”!) werden für alle Gemeinden bzw. Wahlsprengel die “neuen” Ergebnisse (Stimmen) ermittelt. Diese Ergebnisse werden mit den tatsächlichen neuen Wahlergebnissen verglichen, indem die Differenzen der Einzelergebnisse gebildet werden (für alle Einzelergebnisse). Die Differenzen werden quadriert und dann summiert (”Prüfzahl”).

Nun wird die Matrix so lange angepasst, bis diese Summe der Quadrate der Differenzen (”Prüfzahl”) nicht mehr kleiner wird (im optimalen Fall Null ist). Beim Anpassen der Matrix darf nicht vergessen werden (”Nebenbedingungen”), dass

* die Summe einer Matrixspalte immer 100% ergeben muss (Anzahl aller Wähler einer Partei bei der letzten Wahl) und
* die Prozentsätze in der Matrix nur positive Zahlen zwischen 0 und 1 (0% bis 100%) sein können.

Achtung: Die Berechnung ist für wenige Wahlergebnisse (Gemeinden, Wahlsprengel) nicht eindeutig. Wird aber für “viele” Wahlsprengel (z.B. 10 Sprengel einer Gemeinde) das Modell erstellt, so kann meist eine eindeutige Näherung gefunden werden. Am besten testet man das Modell auf Eindeutigkeit, indem man bei mehreren Modellläufen von verschiedenen Ausgangsmatrizen ausgeht.

1. Erkunde – ausgehend von der Standardeinstellung der Matrizen den Einfluss der beiden Werte der zweiten Matrix auf das Ergebnis: Verändere zuerst nur den ersten Wert, stelle den dann den ersten Wert wieder auf Null, verändere dann nur den zweiten Wert, verändere dann abwechselnd beide Werte! Begründe, warum sich das Ergebnis entsprechend verändert!

2. Verändere einen Wert der ersten Matrix und stelle die gleichen Untersuchungen wieder an. Was kannst du feststellen?

3. Verändere beliebige Werte der ersten Matrix und untersuche ihren Einfluss auf die Ergebnismatrix! Begründe das Verhalten der Ergebnismatrix bei Änderung der ersten Matrix!

Dokumentiere deine Ergebnisse systematisch und übersichtlich!

In einem Ort gibt es zwei Kaufhäuser A und B. Eine Untersuchung ergab, daß Kunden das Geschäft auch wechseln. Innerhalb eines Monats wurde festgestellt:

70% der Kunden von A bleiben A treu
80% der Kunden von B bleiben B treu.

Dieser Sachverhalt kann mit Hilfe einer (Übergangs-)Matrix dargestellt werden

Abb. 1

Angenommen, 55 Personen kaufen bei A und 45 Personen bei B. Wir interpretieren die Anzahl der Käufer bei A und B als Matrix

Dann gibt die Multiplikation der beiden Matrizen die Anzahl der Käufer in den Geschäften nach einem Monat. Die Übergangsmatrix ist Multiplikator der Käufermatrix:

A hat noch etwa 47 Käufer, B etwa 53. Die Gesamtanzahl der Käufer ist gleich groß wie zu Beginn.

Angenommen, die beiden Geschäfte haben gleich viel Kunden. Die Matrixmultiplikation gibt den prozentuellen Anteil nach einem Monat an.

Überprüfe, ob die Matrixmultiplikation die neue prozentuelle Kundenverteilung auch bei ungleichen Kundenanteilen zu Beginn des Monats angibt. Welche Zahlen müßte die Kundenmatrix beinhalten?

Um die Kundenströme im Zeitraum von zwei Monaten zu ermitteln, wird die Übergangsmatrix quadriert:

Untersuche, wie die Kundenverteilung nach mehreren Monaten aussieht! Verliert A allmählich alle Käufer oder gibt es einen stabilen Endzustand?

Hintergrundinformation
Kaufkraftströme werden tatsächlich untersucht. Eine langfristige Untersuchung wurde von der Wirtschaftskammer für Oberösterreich in Auftrag gegeben und untersuchte die Kaufkraftströme zwischen Orten und zwischen Unternehmensarten in ganz Oberösterreich über 10 Jahre:
aus: Kammernachrichten 22.5.98/Folge 21
AKTUELLES MEDIENSERVICE, 15. Mai 1998
Wo kaufen die Oberösterreicher ein?
Einzelhandelsrelevante Kaufkraft der Oberösterreicher beträgt rund 80 Milliarden Schilling.