Lebenserwartung und Ernährung

Daten: FAO, Population Reference Bureau, 1988.

Lebenserwartung und Einkommen

Der Zusammenhang ist durch eine Logarithmus-Funktion angenähert.

Arbeitsanleitung: Lies die Daten eines Jahres von möglichst vielen Ländern ab, gib sie in eine Tabellenkalkulation als Wertetabelle ein, erstelle eine Grafik und eine logarithmische Näherungsfunktion!

Daten und Grafik mit Funktionsterm

Daten: FAO, Population Reference Bureau.

Arbeitsanleitung
Gib die Daten ein und erstelle mit den Daten das Diagramm sowie den Funktionsterm!

An der grafischen Darstellung kann man recht gut die Zusammenhänge beim Logarithmus sehen: log1=0, log10=1, log100=2 etc.

Arbeitsanregungen

• Zeichne die Logarithmus-Funktion f(x)=ldx (Logarithmus zur Basis 2) und beobachte alle dir ersichtlichen Zusammenänge!
• Für welche x-Werte ist die Logarithmus-Funktion nicht definiert?
• Zeichne die Logarithmus-Funktionen für Basis 3, e und stelle Regeln für den Verlauf dieser Funktionen auf: Welche Funktionen verlaufen flacher, steiler, wovon hängt das ab? Gibt es einen gemeinsamen Punkt für alle diese Logarithmus-Funktionen?
• Vergleiche die Logarithmus-Funktionen mit den Exponentielfunktionen gleicher Basis, finde und formuliere Zusammenhänge!

Hinweis und Anregung für eigene Forschungen
Skaliert man die x-Achse logarithmisch (zur Basis 10), so wird die Logarithmus-Funktion (mit Basis 10) als Gerade dargestellt. Entsprechend verhält es sich mit den Log-Funktionen mit anderer Basis. Das zeigt ganz schön die innere Struktur der Logarithmus-Funktion, in jedem ganzzahligen x-Schritt wiederholen sich die y-Schritte, allerdings entsprechend gestreckt… Untersuche selbst, wie das gemeint ist und beachte den Zusammenhang zur Regel … (Siehe Die Gesetze des Logarithmus)

Diese Summen von Potenzen nennt man Potenzreihen, sie können aufgrund ihrer Regelmäßigigkeit als Formel geschrieben werden. Die Anzahl der berechneten Reihenglieder bestimmt die Genauigkeit der Näherung. Zur Berechnung des Logarithmus sind in der Formel nur mehr Potenzen mit natürlichen Exponenten nötig und kann daher als Mehrfach-Multiplikation (auch vom TR) gelöst werden.

Überprüfe, wieviele Reihenglieder der Potenzreihe für ln(x) für eine vierstellige Logarithmentabelle notwendig sind! Berechne dazu zuerst einmal den Logarithmus einer Zahl vierstellig (etwa ln5=1,6094) und überprüfe dann, ab wieviel Reihengliedern das Ergebnis der Potenzreihe diesem vierstelligen Ergebnis entsprechen:

Berechnung von Näherungen

Die Berechnung soll anhand eines Beispiels gezeigt und erklärt werden:

Rechenbeispiel

Zum besseren Verständnis noch eine kleine Reflexionshilfe: mit Hilfe des Taschenrechners lösen wir die Aufgabe (Logarithmus zur Basis 1,2) nicht direkt, sondern wir formen die ursprüngliche Potenzrechung (Gleichung) mit Hilfe des Logarithmus als Rechenart so um, dass nur Logarithmen mit einer Basis, die der TR zur Verfügung stellt, vorkommen. Auf diese Weise umgehen wir das Problem Logarithmus zur Basis 1,2.

Natürlich kannst du auch den ln für die Gleichungsumformung verwenden, das Ergebnis ist (klarerweise) das Gleiche. Überprüfe das selbständig!

Übungen

1. Schreib verschiedene Potenzfragestellungen mit unbekanntem Exponenten an und löse sie mit Hilfe des Taschenrechners!
2. Verwende für die Lösung mit dem TR sowohl den lg als auch den ln!
3. Löse diese ursprünglichen Potenzfragestellungen auch durch Probieren (die Exponenten immer genauer einsetzen, damit das gewünschte Ergebnis erzielt wird) bzw. mache als Probe die Potenzrechnung mit dem Ergebnis für x, damit du in Erinnerung behältst, dass Logarithmieren eine Potenzrechnung zur Grundlage hat.

Übung zum Problembewußtsein: Stelle die Exponentialfunktion zur Basis 10 grafisch dar (Bereich für die x-Werte: 0 bis 5) und versuche, im Bereich zwischen x = 0 und 2 Unterschiede der y-Werte festzustellen!

Um dieses Problem zu umgehen, wird die y-Skala logarithmisch skaliert, das heißt anstelle von 0, 1, 2, … wird in gleichen Abständen 10hoch0, 10hoch1, 10hoch2, geschrieben. Der Verlauf der Kurve wird dadurch verzerrt, die y-Werte werden in allen Bereichen leichter vergleichbar. Interessanterweise wird der Graf dieser Exponentialfunktion zu einer Linie bzw. Geraden mit der Steigung 1.

Um beliebige Exponentialfunktionen linear darstellen zu können (damit in allen Größenbereichen Unterscheidungen zu sehen sind), muss die Exponentialfunktion zur Basis 10 dargestellt werden:

Die Umformung geschieht wie folgt:

Achtung: Die mögliche logarithmische Skalierung der y-Achse hat eine wichtige Konsequenz: nicht alles, was aussieht wie eine Gerade ist auch eine Gerade! Zu allererst muss man die y-Achse beachten, um die Entscheidung treffen zu können: Lineare Funktion oder Exponentialfunktion.

Hinweis: Es kann auch die x-Achse logarithmisch skaliert werden. In diesem Fall werden Logarithmus-Funktionen linear dargestellt. Werden x-Achse und y-Achse beide logarithmisch skaliert, so werden Potenzfunktionen linear dargestellt.

Beispiele

1. Erkläre, was diese Funktionen darstellen!
2. Warum ist in diesen Abbildungen die y-Achse logarithmisch skaliert?
3. Ermittle unter Verwendung mehrerer repräsentativer Datenpunkte die entsprechende Funktion und deute die erhaltenen Parameter! (Hinweis: Rechne bei den Sterberaten nur ab 30jährige!)
4. Stelle die erhaltenen Funktionsterme auch zur Basis a dar!
5. Stelle einzelne der bereits bekannten Themen und Beispiele (radioaktiver Zerfall, Lichtintensität, …) zur Basis 10 dar und zeichne die Funktion mit logarithmisch skalierter y-Achse!

Der Empfindungsgrad wächst mit gleichen (additiven) Schritten, wenn der physikalische Reiz mit multiplikativ gleichen Schritten wächst, das heißt, wenn der Reiz mit gleich großen relativen Schritten zunimmt (In Bezug auf die Lautstärke als Weber-Fechner-Gesetz, 1860, formuliert).

Die Entdeckung des Logarithmus liegt in einer Reihe folgenschwerer Entdeckungen: Auch mit dem kopernikanischen Planetenmodell zeigt die Wissenschaft, dass wir die Welt nicht so wahrnehmen, wie sie ist, wir müssen also unserer Sinneswahrnehmung mißtrauen und die Welt gegen die Sinne denkend neu konstruieren.

Der deutsche Philosoph Peter Sloterdijk formuliert das sehr plastisch:

“Durch den kopernikanischen Schock wird uns demonstriert, daß wir die Welt nicht sehen, wie sie ist, sondern daß wir ihre “Wirklichkeit” gegen den Eindruck der Sinne denkend vorstellen müssen, um zu “begreifen”, was mit ihr der Fall ist. Da liegt das Dilemma: wenn die Sonne aufgeht, geht nicht die Sonne auf. Was die Augen sehen und was der astrophysisch informierte Verstand vorstellt, kann nicht mehr miteinander zur Deckung kommen. …

Das Merkwürdige an der kopernikanischen Aufklärung ist ja: auch wenn wir wissen, daß wir es mit der Erdumdrehung zu tun haben, sehen wir, sofern wir früh genug auf sind, auch nach Kopernikus den Sonnenaufgang in seiner archaischen Schönheit und erhabenen Ereignishaftigkeit. …

Wenn es wahr ist, daß wir Wahrheit über die Welt nicht in dem finden, was wir in urpassiver Wahrnehmungseinstellung von ihr sehen, hören und fühlen, sondern daß wir sie jenseits der Sinneszeugnisse vorstellen und wie eine ontologische Geheimschrift “lesen” müssen, dann liegt es im Wesen dieser Wahrheit, daß wir uns an ihr schwindlig denken. Wem nicht schwindlig ist, der ist nicht informiert. Je mehr man von kopernikanischen “Wahrheiten” weiß, desto schwindliger wird einem – von dieser Regel dürfte es wenige Ausnahmen geben.”

(Zitate aus: Sloterdijk, Kopernikanische Mobilmachung und ptolemäische Abrüstung, edition suhrkamp, 1987)