Die Entstehung der komplexen Zahlenebene

Bei Mehrfachmultiplikation mit -1 wird der Pfeil zweimal gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Die ganzzahligen Potenzen von -1 als Drehung um jeweils 1mal, 2mal, etc um 180° Drehung nach links. Die Wurzel aus -1 könnte in Analogie als halbe Drehung ((-1)^1/2, also um Drehung um nur 90° interpretiert werden. Diese sinnvolle und (ana)logische Erweiterung dieses Operatoren-Konzeptes führt aus der Zahlengerade hinaus in die Zahlebene. Den Zielpunkt der Operation Wurzel(-1) nennt man i (imaginäre Einheit), bei Wurzel(-2) steht dann 2i, etc. Auf diese Weise entsteht die imaginäre Zahlenachse in Ergänzung zur reellen Zahlenachse (der üblichen Zahlengeraden).

Zahlen in der Ebene, die duch die beiden Achsen aufgespannt wird, heißen komplexe Zahlen, sind also zusammengesetzte Zahlen.

Addition zweier komplexer Zahlen

Rechnen mit komplexen Zahlen kann ebenfalls als Operation mit Pfeilen gedeutet werden: Pfeile in unterschiedlicher Länge in unterschiedliche Richtungen werden entsprechend gerichtet aneinandergefügt, das Ergebnis ist der Pfeil vom Koordinatenursprung zum Zielpunkt.

Die komplexen Zahlen können verschieden notiert werden, je nachdem, in welchem Zusammenhang man sie sieht bzw. verwendet:
Die Schreibweise 4+2i deutet noch auf die Herkunft der Wurzel aus einer negativen Zahl hin, die Schreibweise (4, 2) deutet auf die Verwendung im geometrischen Kontext hin.

Anwendungen wie die Kräftephysik mit dem Kräfteparallelogramm zeigen, dass diese Zahlenerweiterung nicht nur geometrisch, sondern auch inhaltlich Sinn macht. Rechnen mit 2-dim-Vektoren kann als Rechnen mit komplexen Zahlen interpretiert werden.

Einige Konsequenzen und Fragestellungen

Imaginäre bzw. Komplexe Zahlen sind weder positiv noch negativ, weil sie nicht auf der Zahlengeraden liegen.

Der Größenvergleich komplexer Zahlen muss neu definiert werden: Jene komplexe Zahl ist größer als eine andere, deren Abstand zum Koordinatenursprung (das nennt man Betrag der Zahl z) größer ist.

Überlege:

• Wie kann man komplexe Zahlen multiplizieren, wie potenzieren? Kann auch der Exponent in einer Potenz eine komplexe Zahl sein? Ist das Ergebnis der Rechnung mit komplexen Zahl immer eine komplexe Zahl oder müssen wir den Zahlenbereich immer wieder erweitern?

Überlege:

• Wie verändert sich Funktionsbegriff, wenn als Grundmenge für die x-Werte nicht die Zahlengerade, sondern die komplexe Zahlebene verwendet wird? (Stichwort: komplexen Funktionentheorie).
• Wie sollen wir solche komplexen Funktionen zeichnen?

• Du sollst wissen, dass es komplexe Zahlen gibt und durch welche Fragestellung sie entstehen.
• Du sollst Lösungen quadratischer Gleichungen mit negativem Wurzelausdruck als komplexe Lösungen anschreiben können, auch wenn das dein Taschenrechner nicht kann.
• Du sollst die Gaußsche Zahlenebene mit reeller und imaginärer Achse für das Visualisieren komplexer Zahlen verwenden können.
• Du sollst komplexe Zahlen addieren, subtrahieren und multiplizieren und diese Rechenvorgänge geometrisch interpretieren können.
• Du sollst wissen, dass auch bei anderen Zahlenmengen (negative Zahlen, rationale Zahlen) ein ähnliches vorerst unlösbar erschienenes Rechenproblem aufgetaucht ist.
• Du sollst bemerkt haben, dass man sich komplexe Zahlen nicht als Zahlen vorstellen können muss, sondern dass es genügen kann, zu wissen warum sie entdeckt/erfunden wurden und dass und wie sich damit rechnen lässt.

1. Denke dir zwei oder mehrere komplexe Zahlen aus, addiere sie und interpretiere die Zahlen geometrisch!
2. Zeichne die Potenzen einer komplexen Zahl z für Exponenten 1, 1.5, 2, 2.5 etc! Verwende auch negative Exponenten! Achtung: Der Winkel der Zahl z wird mit dem Exponenten multipliziert, die Länge des Pfeils z wird mit dem Exponenten potenziert. Eine andere Möglichkeit, komplexe Potenzen zu berechnen, hast du noch nicht. Den Winkel musst du vorerst mit dem Winkelmesser abmessen, das Berechnen des Winkels lernst du erst im nächsten Schuljahr!

Aufgaben für Tüftler/innen und Denker/innen

1. Recherchiere im Internet (Wikipedia) zum Thema Komplexe Zahlen und fasse deine Ergebnisse zusammen, soweit du Verständliches findest.
2. Komplexe Zahlen sind weder positiv noch negativ. Versuche herauszufinden, wie das Problem der Größenordnung gelöst werden kann: welche von zwei komplexen Zahlen ist die größere?
3. Überlege, wie man zwei komplexe Zahlen dividieren kann! Verwende dazu dein Wissen über Rechnen mit Termen aus der Grundschule: (a + b)*(a – b) = … (Bruch erweitern!)