Hier möchte ich über die Asymptote der Stammfunktion eine logische Begründung für diesen Sachverhalt liefern.

Wir betrachten die Funktion f(x) = 1/x² (schwarz). Von dieser Funktion bilden wir eine Stammfunktion (rot):

Wir berechnen den Flächeninhalt (pink) zwischen Funktion f(x) und x-Achse im Intervall [1, 10]. Dieser Flächeninhalt beträgt 0.9 Einheiten. Wählt man jetzt eine größere obere Grenze, wird der Flächeninhalt etwas größer. Wie groß man die obere Grenze des Intervalls auch wählt, der Flächeninhalt wird nie 1 erreichen. Der Wert 1 ist der Grenzwert, weil 1 die kleinstmögliche Zahl ist, durch die der Flächeninhalt begrenzt ist. So ein bestimmtes Integral mit unendlich großer oberer Grenze nennt man uneigentliches Integral, wenn ein Grenzwert existiert.

Ich bilde die Integralfunktion G(x) (blau), das ist jene Stammfunktion mit dem Funktionsterm F(x) – F(a). Die Funktionswerte dieser Integralfunktion G(x) geben genau die Größe des Flächeninhalts von a (untere Intervall-Grenze) bis zum jeweiligen x-Wert an.

Als (eine beliebige) Stammfunktion erhalten wir F(x) = -1/x.
In unserem Fall ist dann G(x) = F(x) – F(1) = -1/x – (-1/1),
also G(x) = -1/x + 1.

Wir überprüfen in der Zeichnung:

1. G(1) muss Null sein, weil 1 die untere Grenze ist und von 1 bis 1 noch keine Fläche entsteht. Die Integralfunktion G(x) hat in x = a (hier a=1) eine Nullstelle.
2. G(x) wächst mit fortschreitendem x zuerst schneller, dann langsamer, weil die Fläche (pink) zuerst größer und dann kleiner ist.
3. Der Funktionswert G(10) = 0.9, weil der Flächeninhalt zwischen f(x) und x-Achse von [1,10] den Wert 0.9 hat.

Jetzt kommt noch die Asymptote als Erklärungsmodell für die Begrenzung des Flächeninhalts für unendlich große Intervallgrenze b dazu: Die Asymptote der Funktion G(x) ist die zur x-Achse parallele Gerade y = 1. Das kannst du durch Polynom-Division berechnen, das geht aber auch aus der Grafik klar hervor: Die Funktionswerte von G(x) werden nie größer als 1. Und weil die y-Werte von G(x) die Flächeninhalte unter f(x) von 1 weg repräsentieren, sind auch diese nie größer als 1!

Als einfache grafische Überprüfung, ob eine Funktion f(x) ein uneigentliches Integral hat, genügt es zeigen, ob die Stammfunktion eine horizontale Asymptote hat. Die Höhe der Asymptote der Integralfunktion ist dann gleichzeitig der Wert des uneigentlichen Integrals. Uneigentlich heißt das Integral deshalb, weil man im klassischen Sinne eigentlich nicht von einem Flächeninhalt sprechen kann, wenn die Fläche nach einer Seite offen ist.

• Die Stammfunktion ist eine (beliebige) Funktion F(x) die f(x) als Ableitung hat.
• Es gibt zu f(x) unendliche Stammfunktionen, weil die Integrationskonstante C beim Ableiten verschwindet.
• Die Menge aller Stammfunktionen ist grafisch eine Kurvenschar und heißt unbestimmtes Integral.
• Die exakte Schreibweise für das unbestimmte Integral ist {F(x) + C, C aus R}.

Flächenberechnung

• Nicht unbedingt selbstverständlich oder von vornherein klar ist, dass die Berechnung von Flächen etwas mit der Differentialrechnung bzw. ihrer Umkehrung (Stammfunktion) zu tun hat.
• Setzt man in eine Stammfunktion F(x) die beiden Grenzen eines Intervalls [a, b] ein, so erhält man die Fläche zwischen x-Achse und f(x) im Intervall [a, b]:
• A[f(x), a, b] = F(b) – F(a), wobei F(x) interessanterweise die Stammfunktion ist!
• Daher ergibt sich der Geogebra-Befehl Integral[f,a,b] für die Flächenberechnung.
• Den Flächeninhalt nennt man bestimmtes Integral – obwohl das nicht das „Gegenteil“ vom unbestimmten Integral ist. Aber es ist das Integral in einem bestimmten Bereich.
• Flächeninhalte erhalten je nach Lage (oberhalb-, unterhalb der x-Achse) positive bzw. negative Vorzeichen. Das muss man bei der Berechnung von Flächeninhalten berücksichtigen: Zuerst sind die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, dann wird jede Teilfläche extra berechnet.
• Wenn man die Intervallgrenzen beim Flächenberechnen (un)absichtlich vertauscht, ändert sich das Vorzeichen des Flächeninhalts. Das Vorzeichen kann man mit dem physikalischen Begriff des positiven bzw. negativen Drehsinns beim Berechnen deuten.
• Positive und negative Flächeninhalte können auch in Anwendungsgebieten sinnvoll gedeutet werden, etwa als Ergebnis von positiven oder negativen Bankkontobewegungen (pro Tag). Die relative Gesamtfläche (negative Flächen werden negativ gerechnet) gibt dann den Kontostand am Ende der Bewegungen an. In diesem Sinn spricht man beim bestimmten Integral auch vom Änderungs-Effekt.

Die symbolische Schreibweise

• Die symbolische Schreibweise des Integrals kommt von der Idee, beim Berechnen krummer Flächen viele kleine Balken mit Breite Δx und Höhe f(xi) zu berechnen. Die Summe dieser Balken nähert sich der Gesamtfläche umso besser, umso kleiner (und mehr) die Balken sind.

  

• Diese endlich vielen Balken können unterhalb oder oberhalb der Funktion angelegt werden, man spricht dann von Untersumme und Obersumme. Der Mittelwert zwischen Untersummen und Obersumme gibt den Flächeninhalt noch genauer an (numerisches Näherungsverfahren, numerische Integration).
• Bildet man aber unendlich viele unendlich schmale Balken, kann man sie zwar nicht mehr wie üblich addieren, mit Hilfe der Grenzwert-Rechnung kann aber die Fläche berechnet werden.

  

• Das stilisierte S verweist auf das Summenzeichen und symbolisiert eine Summe aus unendlichen vielen Teilen, f(x) symbolisiert die Balkenhöhen an jedem x-Wert, dx symbolisiert unendlich kleine Balkenbreiten.
• Numerische Integrationsverfahren (Balkensummen, Trapezsummen) sind für jene Funktionen nötig, für deren Stammfunktion es keinen Funktionsterm gibt, oder wenn die Berechnung zu kompliziert ist, oder eine Näherungslösung genügt.