Näherungsqualität für die Exponentialfunktion

In der Startansicht sieht man die Funktion f(x) = e^x bzw. exp(x) und die zweite Taylornäherung im Entwicklungspunkt x₀ = 0. Der Entwicklungspunkt kann hier nicht verändert werden.

Die Schieberegler ermöglichen es, das dritte bis fünfte Taylorglied zu gewichten. Die für die Taylorentwicklung richtige Gewichtung wird mit einem Faktor zwischen 0 und 2 multipliziert, und das Taylorglied ist untergewichtet, wenn der Faktor kleiner als 1 ist, übergewichtet wenn größer als 1.

Die Grafik zeigt die 1., 3., 5., 7. und 17. (hellgrün) Näherungsfunktion.

Der Entwicklungspunkt kann mit dem Schieberegler in der Grafik verschoben werden, die punktierte senkrechte Linie gibt in der Grafik die Lage des Entwicklungspunktes an. In einem Intervall um diesen Entwicklungspunkt ist die Näherung halbwegs genau – je nachdem, wie groß das Intervall ist und wie viele Reihenglieder das Taylor-Polynom hat.

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Arbeitsanleitungen

• Verfolge grafisch die Näherungsfunktionen für f(x) bei Verschiebung des Entwicklungspunktes mit dem Schieberegler!
• Überprüfe (durch Nachrechnen) die jeweiligen Funktionsterme der Taylorpolynom je nach Wahl des Entwicklungspunktes!
• Mit einem Doppelklick auf den Funktionsterm links kannst du einen anderen Funktionsterm eingeben und die Analyse mit anderen Funktionen durchführen: beispielsweise mit f(x) = sin(x). Die richtigen Taylorpolynome werden automatisch berechnet.

Die Näherungsfunktionen sind nur in einem bestimmten Bereich eine gute Näherung.

Die Grundidee ist, dass man die Funktion an einer bestimmten Stelle a betrachtet und durch ihre Näherung ersetzt. An der Stelle x = a wird die Funktion einfach durch ihren Funktionswert ersetzt.

Möchte man den Trend der Funktion an der Stelle x = a zur Näherung hinzufügen, so wird die Tangente an die Funktion an dieser Stelle berechnet.

T1(x) nennt man auch Linearisierung von f an der Stelle a. Die Linearisierung ist natürlich nur in einem engen Intervall um a sinnvoll. Der Gleichungsterm entspricht umgeformt dem linearen Funktionsterm

Möchte man zum linearen Trend auch das Krümmungsverhalten bei x = a einbeziehen, so wird zur linearen Näherung noch die zweite Ableitung hinzugefügt. Die Näherungsfunktion wird dadurch etwas aussagekräftiger. Die zweite Ableitung wird mit dem Faktor 2 im Nenner gewichtet.

Zur Systematik dieser Entwicklung

Die erste Ableitung wird mit dem Term (x – a) multipliziert.
Die zweite Ableitung wird mit dem Term (x – a)² multipliziert.

Der Faktor (x – a) bedeutet, dass der Fehler der Näherung größer wird, je weiter der x-Wert von a entfernt ist. Bei x = a bleibt als Näherung genau der Funktionswert übrig. Man nennt a den Entwicklungspunkt der Taylorreihe. Der Entwicklungspunkt ist jener Punkt, in dessen Umgebung das Verhalten der Funktion sinnvoll angenähert wird. Je höher die Ableitung, umso stärker wird aufgrund der Potenz von (x – a) der Fehler wenn | x – a | > 1.

Jede Ableitung wird mit einem Faktor im Nenner gewichtet, der angibt, wie stark die jeweilige Ableitung in der Näherungsfunktion berücksichtigt wird. Die Gewichtung der n-ten Ableitung ist n!, die Gewichtung der einzelnen Ableitungen hängt mit den höheren Ableitungen der Potenzfunktion zusammen und soll hier nicht näher erklärt werden.

Je mehr Ableitungen in der Taylor-Entwicklung gebildet werden, desto genauer wird die Funktion f durch die Taylor-Entwicklung (oder Taylor-Reihe) angenähert. Die Taylor-Reihe entspricht der Funktion, wenn unendlich viele Ableitungen summiert werden:

Visualisierung

Die Grafik zeigt mehrere Taylor-Polynome für f(x) = sin(x) am Entwicklungspunkt a = 0. Die blaue Gerade ist dier erste Näherung T1(x), die grüne Funktion die kubische Näherung T3(x), etc. In der Umgebung des Entwicklungspunktes ist die Abweichung von sin(x) bereits sehr klein.

Allgemein ist eine Funktion f auch als n-tes Taylorpolynom der Funktion f mit einem Fehler (Restglied-Polynom) darstellbar:

Die Differenz zwischen Näherung und Funktion lässt sich mit Hilfe von Restglied-Polynomen Rn(x) ausdrücken. Man kann Aussagen über das Restglied-Polynom machen, das übersteigt aber bei Weitem die Mathematik der höheren Schule. Jedenfalls ist der Fehler größer, je stärker x vom Entwicklungspunkt a abweicht.

Für den Spezialfall a = 0 nennt man die Taylor-Polynome MacLaurin-Polynome oder MacLaurin-Reihe. Die MacLaurin-Reihe hat gegenüber dem allgemeinen Term der Taylor-Reihe den Vorteil des einfacheren Funktionsterms.

Wichtige Taylor- bzw. MacLaurin-Polynome

Bemerkenswert sind die MacLaurin-Reihen für folgende Funktionen:

Beachte den Zusammenhang zwischen den Polynomen für sin(x) und cos(x)!

Beachte den Zusammenhang zwischen den Polynomen für e^x und ln(x+1)!

Aus diesen paar MacLaurin-Polynomen kann man übrigens weitere interessante Ergebnisse erzielen:

1. Setzt man x = 1 in der MacLaurin-Reihe von e^x, so erhält man für den Wert der Zahl e die Reihe
   e = 1 + 1 +1/2! + 1/3! + …
2. Verwendet man für ex die MacLaurin-Reihe, so erhält man für die Funktion

   

3. Durch Ersetzen von x2 statt x erhält man die MacLaurin-Reihe

   

Hier möchte ich über die Asymptote der Stammfunktion eine logische Begründung für diesen Sachverhalt liefern.

Wir betrachten die Funktion f(x) = 1/x² (schwarz). Von dieser Funktion bilden wir eine Stammfunktion (rot):

Wir berechnen den Flächeninhalt (pink) zwischen Funktion f(x) und x-Achse im Intervall [1, 10]. Dieser Flächeninhalt beträgt 0.9 Einheiten. Wählt man jetzt eine größere obere Grenze, wird der Flächeninhalt etwas größer. Wie groß man die obere Grenze des Intervalls auch wählt, der Flächeninhalt wird nie 1 erreichen. Der Wert 1 ist der Grenzwert, weil 1 die kleinstmögliche Zahl ist, durch die der Flächeninhalt begrenzt ist. So ein bestimmtes Integral mit unendlich großer oberer Grenze nennt man uneigentliches Integral, wenn ein Grenzwert existiert.

Ich bilde die Integralfunktion G(x) (blau), das ist jene Stammfunktion mit dem Funktionsterm F(x) – F(a). Die Funktionswerte dieser Integralfunktion G(x) geben genau die Größe des Flächeninhalts von a (untere Intervall-Grenze) bis zum jeweiligen x-Wert an.

Als (eine beliebige) Stammfunktion erhalten wir F(x) = -1/x.
In unserem Fall ist dann G(x) = F(x) – F(1) = -1/x – (-1/1),
also G(x) = -1/x + 1.

Wir überprüfen in der Zeichnung:

1. G(1) muss Null sein, weil 1 die untere Grenze ist und von 1 bis 1 noch keine Fläche entsteht. Die Integralfunktion G(x) hat in x = a (hier a=1) eine Nullstelle.
2. G(x) wächst mit fortschreitendem x zuerst schneller, dann langsamer, weil die Fläche (pink) zuerst größer und dann kleiner ist.
3. Der Funktionswert G(10) = 0.9, weil der Flächeninhalt zwischen f(x) und x-Achse von [1,10] den Wert 0.9 hat.

Jetzt kommt noch die Asymptote als Erklärungsmodell für die Begrenzung des Flächeninhalts für unendlich große Intervallgrenze b dazu: Die Asymptote der Funktion G(x) ist die zur x-Achse parallele Gerade y = 1. Das kannst du durch Polynom-Division berechnen, das geht aber auch aus der Grafik klar hervor: Die Funktionswerte von G(x) werden nie größer als 1. Und weil die y-Werte von G(x) die Flächeninhalte unter f(x) von 1 weg repräsentieren, sind auch diese nie größer als 1!

Als einfache grafische Überprüfung, ob eine Funktion f(x) ein uneigentliches Integral hat, genügt es zeigen, ob die Stammfunktion eine horizontale Asymptote hat. Die Höhe der Asymptote der Integralfunktion ist dann gleichzeitig der Wert des uneigentlichen Integrals. Uneigentlich heißt das Integral deshalb, weil man im klassischen Sinne eigentlich nicht von einem Flächeninhalt sprechen kann, wenn die Fläche nach einer Seite offen ist.

• Die Stammfunktion ist eine (beliebige) Funktion F(x) die f(x) als Ableitung hat.
• Es gibt zu f(x) unendliche Stammfunktionen, weil die Integrationskonstante C beim Ableiten verschwindet.
• Die Menge aller Stammfunktionen ist grafisch eine Kurvenschar und heißt unbestimmtes Integral.
• Die exakte Schreibweise für das unbestimmte Integral ist {F(x) + C, C aus R}.

Flächenberechnung

• Nicht unbedingt selbstverständlich oder von vornherein klar ist, dass die Berechnung von Flächen etwas mit der Differentialrechnung bzw. ihrer Umkehrung (Stammfunktion) zu tun hat.
• Setzt man in eine Stammfunktion F(x) die beiden Grenzen eines Intervalls [a, b] ein, so erhält man die Fläche zwischen x-Achse und f(x) im Intervall [a, b]:
• A[f(x), a, b] = F(b) – F(a), wobei F(x) interessanterweise die Stammfunktion ist!
• Daher ergibt sich der Geogebra-Befehl Integral[f,a,b] für die Flächenberechnung.
• Den Flächeninhalt nennt man bestimmtes Integral – obwohl das nicht das „Gegenteil“ vom unbestimmten Integral ist. Aber es ist das Integral in einem bestimmten Bereich.
• Flächeninhalte erhalten je nach Lage (oberhalb-, unterhalb der x-Achse) positive bzw. negative Vorzeichen. Das muss man bei der Berechnung von Flächeninhalten berücksichtigen: Zuerst sind die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, dann wird jede Teilfläche extra berechnet.
• Wenn man die Intervallgrenzen beim Flächenberechnen (un)absichtlich vertauscht, ändert sich das Vorzeichen des Flächeninhalts. Das Vorzeichen kann man mit dem physikalischen Begriff des positiven bzw. negativen Drehsinns beim Berechnen deuten.
• Positive und negative Flächeninhalte können auch in Anwendungsgebieten sinnvoll gedeutet werden, etwa als Ergebnis von positiven oder negativen Bankkontobewegungen (pro Tag). Die relative Gesamtfläche (negative Flächen werden negativ gerechnet) gibt dann den Kontostand am Ende der Bewegungen an. In diesem Sinn spricht man beim bestimmten Integral auch vom Änderungs-Effekt.

Die symbolische Schreibweise

• Die symbolische Schreibweise des Integrals kommt von der Idee, beim Berechnen krummer Flächen viele kleine Balken mit Breite Δx und Höhe f(xi) zu berechnen. Die Summe dieser Balken nähert sich der Gesamtfläche umso besser, umso kleiner (und mehr) die Balken sind.

  

• Diese endlich vielen Balken können unterhalb oder oberhalb der Funktion angelegt werden, man spricht dann von Untersumme und Obersumme. Der Mittelwert zwischen Untersummen und Obersumme gibt den Flächeninhalt noch genauer an (numerisches Näherungsverfahren, numerische Integration).
• Bildet man aber unendlich viele unendlich schmale Balken, kann man sie zwar nicht mehr wie üblich addieren, mit Hilfe der Grenzwert-Rechnung kann aber die Fläche berechnet werden.

  

• Das stilisierte S verweist auf das Summenzeichen und symbolisiert eine Summe aus unendlichen vielen Teilen, f(x) symbolisiert die Balkenhöhen an jedem x-Wert, dx symbolisiert unendlich kleine Balkenbreiten.
• Numerische Integrationsverfahren (Balkensummen, Trapezsummen) sind für jene Funktionen nötig, für deren Stammfunktion es keinen Funktionsterm gibt, oder wenn die Berechnung zu kompliziert ist, oder eine Näherungslösung genügt.

Startansicht
Im Zentrum der Betrachtung stehen die Kostenfunktion (schwarz, geschwungen, s-förmiger Verlauf), die Erlösfunktion (blaugrün, linear, durch das Koordinatenzentrum) und die von beiden abbhängige Gewinnfunktion G(x) = E(x) – K(x) (pink).

Der Schieberegler im Grafikbereich links oben gibt die Möglichkeit den Preis zu verändern: Ändert man den Preis, so hat das Auswirkungen auf die Erlös- und damit auf die Gewinnfunktion, die Gewinnschwellen und die Produktionsmenge für den maximalen Gewinn verändern sich.

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Arbeitsanleitung

1. Beobachte, wie sich durch Änderung des Verkaufspreises (Schieberegler) die Erlös- und die Gewinnfunktion verändert.
2. Beobachte, wie sich dabei der Gewinnbereich (G1, G2) verändert.
3. Beobachte die Auswirkungen auf die Gewinnfunktion: Wird der Preis so angesetzt, dass die Kostenfunktion von der Erlösfunktion in genau einem Punkt berührt wird, so berührt die Gewinnfunktion die x-Achse in genau einem Punkt, dem Betriebsoptimum. An dieser Stelle hat die Stückkostenfunktion ihr Minimum, das heißt, dort sind die Stückosten minimal. In diesem Fall fallen Produktionsmenge für maximalen Gewinn und für minimalen Stückkosten (als Verkaufspreis) zusammen.
4. Beobachte weiters: Bei Veränderung des Preises bleibt die Kostenfunktion gleich und damit auch die Stückkostenfunktion (blau strichliert) und die Grenzkostenfunktion (rot, dünn). Grenzkosten- und Stückkostenfunktion schneiden einander im Minimum der Stückkostenfunktion, im Betriebsoptimum.
5. Durch Doppelklick auf die Kostenfunktion im Algebra-Bereich können die Parameter der Kostenfunktion verändert werden. Die davon abhängigen Funktionen ändern sich automatisch. Auf diese Weise können Beispiel mit anderen Angaben getestet und überprüft werden.

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Ein kubischer Kostenverlauf ist bei geringer Produktionsmenge degressiv (Kurve wird flacher, Kostenzuwachs wird weniger), bei höherer Produktionsmenge progressiv (Kurve wird steiler, Kostenzuwachs wird größer).

Die erste Ableitung der Kostenfunktion zeigt die Kostenzuwächse. Man nennt die Kostenzuwächse Grenzkosten, die erste Ableitung heißt Grenzkostenfunktion.

Der Wendepunkt der Kostenfunktion gibt Produktionsmenge an, für die die Grenzkosten (Kostenzuwachs bei Produktionsausweitung) am Geringsten sind. Diese Produktionsmenge heißt Kostenkehre.

Die Stückkostenfunktion zeigt, dass und wie die Höhe der Stückkosten von der Produktionsmenge abhängt. Die Stückkosten nehmen (in diesem Beispiel) mit zunehmender Produktionsmenge ab, ab einer bestimmten Produktionsmenge allerdings nehmen sie wieder zu.

Die Stückkosten sind wichtig, weil sie den minimalen Verkaufspreis pro Stück an geben. Bei unterschiedlichen Produktionsmengen gibt es also unterschiedliche minimale Verkaufspreise! Wenn ein Betrieb den geringstmöglichen Verkaufspreis (ohne Verlust) sucht, berechnet er das Minimum der Stückkostenfunktion. Achtung: Dieser minimale Verkaufspreis ist nur bei einer bestimmten Produktionsmenge gültig. Diese Produktionsmenge heißt Betriebsoptimum, der Verkaufspreis heißt langfristige Preisuntergrenze.

Setzt man als Preis die langfristige Preisuntergrenze in die Erlösfunktion E(x)= px ein, so erhält man eine Erlösfunktion, die die Kostenfunktion im Betriebsoptimum berührt. Das entspricht der Definition der langfristigen Preisuntergrenze als minimalem Verkaufspreis, bei dem weder Gewinn noch Verlust erzielt wird.

Die variablen Kosten sind jene Kosten, die von der Produktionsmenge abhängig sind. Mathematisch sind das jene Teile des Funktionsterms mit einem x. Dividiert man die variablen Kosten durch x, erhält man die variable Stückkostenfunktion VSTK(x). Die Produktionsmenge beim Minimum von VSTK(x) heißt Betriebsminimum, der y-Wert heißt kurzfristige Preisuntergrenze. Unter der Voraussetzung, dass andere Produkte die Fixkosten tragen, ist der Verkauf zu diesem eigentlich defizitären Preis (kurzfristig) wirtschaftlich sinnvoll.

Die Gerade durch den Fixkostenpunkt berührt die Kostenfunktion im Betriebsminimum. Das entspricht der gleiche Stelle, an der die um die Fixkosten nach unten verschobene variable Kostenfunktion von der Erlösfunktion mit der kurzfrisitgen Preisuntergrenze als Verkaufspreis berührt wird.

Interessanterweise schneidet die Grenzkostenfunktion die Stückkosten- und die variable Stückkostenfunktion in deren Minimum, also im Betriebsoptimum und im Betriebsminimum. Das kann über das Verhältnis von (variablen) Stückkosten und Grenzkosten bei Produktionsausweitung erklärt werden.

Für einen Betrieb wichtig ist noch die Produktionsmenge für den maximalen Gewinn. Setzt man in die Erlösfunktion einen höheren Preis als die langfristige Preisuntergrenze ein, so erhält man eine Erlösfunktion, die die Kostenfunktion echt schneidet und daher einen Gewinnbereich ermöglicht. Das Maximum der Gewinnfunktion liegt mengenmäßig etwas oberhalb des Betriebsoptimums.

Aufgabenstellungen zur Kostentheorie bei gegebenem Funktionsterm

Kubische Kostenfunktion

• Berechne die Kostenkehre und die Grenzkosten bei der Kostenkehre
• Berechne die Grenzkosten bei anderen Produktionsmengen (etwa 10, 20 30 ME)
• Berechne die Stückkostenfunktion, das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze.
• Berechne die Stückkosten bei anderen Produktionsmengen.
• Wie groß muss der Verkaufspreis bei einer Produktion von … ME mindestens sein?
• Berechne das Betriebsminimum und die kurzfrisitge Preisuntergrenze.
• Berechne die variablen Stückkosten bei verschiedenen Produktionsmengen.
• Wähle einen sinnvollen Verkaufspreis, bilde die Erlösfunktion und berechne die Gewinnfunktion, die Gewinnschwellen, die Produktionsmenge für den maximalen Gewinn und den maximalen Gewinn!

Quadratische bzw. lineare Kostenfunktion

• Untersuche, wie sich bei einer quadratischen (progressiven) Kostenfunktion bzw. bei linearen Kostenfunktion Grenzkosten, Stückkosten und variable Stückkosten verhalten. Was läßt sich über Kostenkehre, Betriebsoptimum und Betriebsminmum sagen?
• Was läßt sich bei quadratischen bzw. linearen Kostenfunktionen über minimalen Verkaufspreis, Erlös- und Gewinnfunktion bzw. maximalen Gewinn sagen?

Beispiele für kubische Kostenverläufe
K(x) = 0,05x³ – 3x² + 80x + 100
K(x) = 1,00x³ – 10x² + 50x + 150
K(x) = 1,00x³ – 12x² + 60x + 200

Beispiele für quadratische Kostenverläufe
K(x) = x² + 50x + 500
K(x) = x² + 40x + 400
K(x) = x² + 30x + 300

Beispiele für lineare Kostenverläufe
K(x) = 0,5x + 10
K(x) = 2,5x + 20
K(x) = 5,0x + 30

Arbeitsanleitung

1. Verändere die Lage des Punktes P auf der Funktion f(x) und beobachte, wie sich die Steigung der Tangente t (oranges Steigungsdreieck) ändert.
2. Beobachte: Mit der Steigung k verändert sich auch der y-Wert von Q. Q entsteht, indem zum x-Wert von P (x₀) die Steigung k als y-Wert aufgetragen wird.
3. Beobachte: Der Punkt Q zieht bei Veränderung von P eine Spur, die auf einer linearen Funktion liegt, sofern f(x) eine quadratische Funktion ist.
4. Durch Doppelklick auf den Funktionsterm von f(x) im Algebra-Bereich kannst du den Funktionsterm ändern und diesen Zusammenhang zwischen Steigung der Tangente t und der Spur von Q für andere Funktionsterme beobachten. Als Funktionsterme kannst du beliebige Potenzfunktionen oder Funktionen wie f(x)=sin(x) eingegeben. Beobachte dabei jeweils den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung k und y-Wert von Q.
5. Hinweis: Mit Rechtsklick auf das Zeichenblatt kannst du zoomen

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Wir, Du mein Freund und ich, sitzen an einem runden Tisch von üblicher Grösse. Lege darauf eine Orange und daneben einen Stecknadelknopf, so hast Du die relativen Durchmesser von Sonne (Tisch), Jupiter (Orange) und Erde (Stecknadel) in ihren Grössen zueinander. In Wirklichkeit liegen diese drei Körper unseres Planetensystems natürlich nicht beieinander, sondern auf Kreisbahnen mit bestimmten Abständen voneinander. Wollten wir bei unserem Bilde bleiben, so brauchten. wir schon den ganzen Raum einer ausgewachsenen Grosstadt, um die Bahnen aller Planeten unterzubringen. Schau: hier, der Tisch, das ist die Sonne. Um die Erde zu suchen, musst Du aus dem Haus gehen, ca. 160 Meter weit dich entfernen, und dort findest Du einen Stecknadelknopf: die Erde!

Und wo zieht der Jupiter, den wir auf die Grösse einer Orange reduziert haben, seine Bahn? Ja, da musst Du schon einen tüchtigen Marsch von 8,5 Kilometern machen, um auf die Sphäre dieses grössten Planeten, welcher in der Grösse einer Orange um unseren Tisch, die Sonne, kreist, zu stossen. Das Übrige kannst Du Dir in Deiner Phantasie selber ausmalen. Schon jetzt wird Dir auffallen: die ungeheure Leere, in welcher sich die verhältnismässig wenigen Planeten, diese Orange, diese Erbsen, Samenkörner und winzige Stäubchen um diesen Tisch da, die Sonne, bewegen. Stell Dir doch das nur einmal richtig vor: welche Kraft, welches Gesetz, welcher Wille hält jene <Erbse>, jenen Uranus, der in einer Entfernung, von ca. 30(!) Kilometern um unseren Tisch, die Sonne, kreist, noch <im Zaum>?

Aber das ist noch nicht alles, ja erst der Anfang. Unsere Sonne, also unser Tisch, ist ein Fixstern. Willst Du nun die uns nächstliegende Sonne erreichen, so müsstest Du eine leere, finstere und -273° kalte Wüstenei von einer Weglänge durchqueren, die dreimal so lang wie der Erdäquator ist – bis Du dann zum nächsten <Tisch>, nämlich dem uns am nächsten liegenden Fixstern kommst! Dies können wir uns, eben durch die Grössenreduzierung, noch einigermassen vorstellen.

Nimm nun aber die richtigen, wahren Masse – also weg mit dem Tisch! – und erfahre, dass unsere Sonne einen Durchmesser von 688.824 Kilometern hat, dann wird Dir und mir schwindlig. Wir sehen die Zahlen wohl, aber eine Vorstellung können wir uns da nicht mehr machen, auch nicht mittels der (Lichtjahre); denn wenn das Licht in der Sekunde(1) ca. 300.000 Kilometer(!) durch den Raum schiesst, was soll uns da ein Lichtjahr, ja Millionen von Lichtjahren bedeuten, mittels deren die Astronomen den Weltenraum bereits ausmessen?

Aber kehren wir noch einmal kurz zu unserem Reduktionsbild zurück. Nimmt man eine gleichmässige Entfernung der Sterne unseres Milchstrassensystems an und reduziert die Grössen im Durchschnitt auf ein Billionstel, so werden diesmal die Sonnen zu Stecknadelknöpfen, deren durchschnittliche Entfernung 100 Kilometer beträgt! Also hier in Bern so ein winziger, glühender Stecknadelknopf und etwa in Luzern, Lausanne oder Basel der andere, uns am <nächsten> liegende! Dazwischen Nichts, Leere, absolute Finsternis und unermessliche Kälte!