1: N(t) = N₀a^t
2: N(t) = N₀e^λt
3: N(t) = N₀10^kt bzw. N(t) = 10^kt+d
Die drei Varianten des Bildungsgesetzes haben jeweils ihre Berechtigung:

Fall 1 gibt in Faktor a an, auf wie viel Prozent der Anfangsbestand in einer Einheit gestiegen/gefallen ist. Der Faktor a ist zwischen 0 und 1 (Abnahme) oder größer als 1 (Wachstum).

Fall 2 gibt mit dem Faktor λ das momentane Wachstum in Prozent an. Der Faktor λ ist negativ (Abnahme) oder positiv (Wachstum). Die Bedeutung der Basis e wird aber erst beim Kapitel Differentialrechnung transparent.

Fall 3 zeigt im Exponenten den Term einer linearen Funktion und ist für die grafische Darstellung von Exponentialfunktionen von Bedeutung. Da die Exponentialfunktionen sehr stark steigen (oder fallen), können bei der herkömmlichen Darstellung im Bereich kleiner t und großer t nicht gleichzeitig sinnvoll Daten verglichen werden. Skaliert man nun die y-Werte statt 0, 1, 2, 3 mit 100, 101, 102, (weil y = 10^kt+d), so kann man die Exponentialfunktion grafisch mit Hilfe der Geradengleichung im Exponenten darstellen. Diese Darstellungsform hat eine wichtige Konsequenz: Nicht alles, was wie eine lineare Funktion (Gerade) aussieht, ist auch eine Gerade – man muss immer vorher auf die Skalierung der y-Achse achten. Diese Art der Skalierung nennt man übrigens logarithmische Skalierung (der y-Achse).

Berechnen kannst du die Aufgaben immer mit der ersten Variante, die anderen Varianten ermittelst du mit λ = ln(a), k = log(a), d = log(N₀).

Einen Spezialfall stellt die Abnahme von Temperaturen dar: Die Temperatur einer Flüssigkeit kühlt nicht auf 0° aus, auf Umgebungstemperatur (T_U). Durch Verschieben der Kurve im Koordinatensystem kannst du dir folgende Formel erklären: T(t) = (T₀-T_U)a^t + T_U.

Übungsanregung Vertiefung der Exponentialfunktion

• Stelle die Funktionsterme der Aufgaben der Übungszettel in allen drei Varianten dar!
• Zeichne die Funktion mancher dieser Funktionen sowohl in der üblichen Skalierung als auch mit logarithmisch skalierter y-Achse (in einem eigenen Koordinatensystem) und versuche, auch daraus Werte abzulesen.
• Erfinde eigene Beispiele zur Abnahme von Temperaturen. Mache eventuell Versuche mit verschiedenen Flüssigkeiten, Gefäßen oder Umgebungstemperaturen!
• Recherchiere im Internet nach weiteren Anwendungsgebieten der Exponentialfunktion und fasse deine Ergebnisse verständlich und übersichtlich zusammen!

Übe gerade soviel, dass du die Aufgaben verstehst und ohne große Mühe fehlerfrei lösen kannst.
Übe gemeinsam mit anderen die gleichen Aufgaben, damit du die Schritte gut vergleichen kannst.

Die Idee
Für ein Vokabel-Lernprogramm sollen Vokabeln zufällig zur Überprüfung ausgewählt werden. Jene Vokabeln, die bereits ein- oder mehrmals richtig gewusst wurden, sollen weniger oft abgefragt werden.

Schritte zur Realisierung
Wenn eine Vokabel richtig beantwortet wird, erhält die Vokabel einen Punkt, bei falscher Antwort wird ein Punkt (besser: die Hälfte der Punkte) abgezogen. Der Punktebereich ist nach oben nicht begrenzt. Die Vokabeln werden in Reihenfolge der Punktezahl aufsteigend sortiert.

Der mathematische Hintergrund
Zufallszahlen sind bei Computerprogrammen grundsätzlich gleich verteilt, jede Zufallszahl kommt gleich oft vor, wenn nur oft genug gewürfelt wird. In unserem Fall soll die Häufigkeit der Auswahl in Abhängigkeit von der Punkteanzahl abnehmend exponentiell verlaufen. Maßgeblich für Auswahl einer Vokabel ist Position in der Reihenfolge, Vokabeln mit einer geringeren Punktezahl stehen vorne und werden häufiger ausgewählt, weil kleinere Zufallszahlen häufiger vorkommen.

Die Häufigkeiten von 10 Zufallszahlen im Vergleich

Die Häufigkeiten von 10 Zufallszahlen im Vergleich

Die Skizze zeigt 10 Zufallszahlen, und zwar gleichverteilte Zufallszahlen und exponentiell abnehmende Zufallszahlen, dazu noch die entsprechende Exponentialfunktion.

Die Berechnung der exponentiell abnehmenden Zufallszahlen
Ich habe die Formel für EXCEL realisiert und erkläre sie schrittweise:

=ZUFALLSZAHL() ergibt eine gleichverteilte Zufallszahl zwischen 0 und <1.
=ZUFALLSZAHL()*Anzahl+1 .. Zufallszahl zwischen 1 und Anzahl. Anzahl ist die Anzahl der Vokabeln in der Liste.

Diese Zahl wird logarithmiert:
=LOG(ZUFALLSZAHL()*Anzahl+1) … Zufallszahl zwischen 0 und LOG(Anzahl).

Damit das Intervall dieser logarithmierten Zufallszahl bei Null beginnt, wird im Schritt vorher die Eins addiert. Da die Logarithmen der Zahlen von 1 bis Anzahl unterschiedliche (nach oben hin größere) Abstände haben, kommen die größeren Werte häufiger vor.

Damit das Intervall wieder von 0 bis Anzahl reicht, wird die Zufallszahl mit Anzahl/LOG(Anzahl) multimpliziert, das streckt das Intervall auf 0 bis Anzahl.
=LOG(ZUFALLSZAHL()*Anzahl+1)*Anzahl/LOG(Anzahl)

Da nicht die größeren Werte, sondern die kleineren Werte häufiger ausgewählt werden sollen, subtrahiere ich die erhaltene Zufallszahl von der Anzahl der Vokabeln:
=Anzahl-LOG(ZUFALLSZAHL()*Anzahl+1)*Anzahl/LOG(Anzahl)

Um nur ganzzahlige Werte zu erhalten, wird das Ergebnis gerundet:
=Anzahl-RUNDEN(LOG(ZUFALLSZAHL()*Anzahl+1)*Anzahl/LOG(Anzahl))

Das ist die Formel für exponentiell abnehmende Zufallszahlen, das Ergebnis ist der Rang der gewählten Vokabel.

Weitere Anwendungen für exponentiell abnehmende Zufallszahlen

Dieses Konzept der ungleichmäßigen Zufallsauswahl könnte sich auch (Mathematik-)Lehrer für die Auswahl zu prüfender Schüler/innen zunutze machen, wobei die Schüler/innen nach Leistung aufsteigend (die schlechten sind in der Liste vorne) sortiert werden …

Ein Komponist will ein Zufallsmusikstück schreiben. Er könnte nach dem Motto vorgehen lange Noten kommen seltener vor, kurze Noten häufiger oder kleine Intervallschritte kommen häufiger vor, große Sprünge seltener…

Als Medienkünstler arbeite ich an folgendem Projekt: Eine Videokamera nimmt Passant/innen vor der Kamera in Kurzvideos auf. Diese Clips werden gespeichert und mit Aufnahmen früherer Passant/innen gemischt und projiziert. Dabei sollen neuere Videos öfter zum Mischen ausgewählt werden als bereits länger zurückliegende Clips. Die Clips werden mit Datum und Uhrzeit als Dateinamen automatisch gespeichert und in eine Auswahlliste nach Dateinamen sortiert, exponentiell abnehmende Zufallszahlen wählen die Clips zum Mischen aus und die neueren Clips kommen daher häufiger vor.

Sicherlich gibt es weitere Anwendungsmöglichkeiten.

Für die Berücksichtigung von sozioökonomischen Faktoren bedarf es komplexerer Modelle.

Migration ist in diesem Modell nicht berücksichtigt, kann aber ebenso wie Fruchtbarkeit und Sterblich als Zu- und Abwanderung berücksichtigt werden. Eine Prognose der Migration ist nur eingeschränkt möglich. Viele Bevölkerungsprognosemodelle rechnen mit konstanter Migration.

Wirkungsdiagramm

Zum Einfluß etwa der Altersverteilung stelle man sich zwei Staaten mit gleicher Fruchtbarkeit und gleicher Sterblichkeit vor: Ein Staat mit einer sehr jungen Bevölkerung hat trotz gleicher Fruchtbarkeit und Sterblichkeit eine höhere Wachstumsrate (höhere Geburtenrate, niedrigere Sterberate) als ein Staat mit einer “alten” Bevölkerung.

Natürlich verändern Fruchtbarkeit und Sterblichkeit im Laufe der Zeit die Altersverteilung (diese Wirkungen sind im Diagramm nicht angeführt, da sie zeitverzögert wirken).

Causal structures
In summary, the global population trend we are trying to capture with a dynamic model are:

1. All populations tend to be exponentially, although the exponential growth rate is variable.
2. Mortality rates have fallen dramatically in this century.
3. Aggregate human fertility rates have historically been lower than the maximum possible rate and higher than the replacement rate.
4. Fertility tends to be inversely correlated with the level of industrialization.
5. Populations alter their reproductive behavior very slowly in response to changing external conditions.

Some of the basic causal assumptions upon which the population sector is based are simple demographic definitions. Others are widely accepted general statements about human motivations. Still others are postulates, suggested by observers of population behavior; these postulates seem to be consistent with available data but cannot be directly proved or disproved at this time. Each assumption is discussed in more detail when the equation expressing it is presented in the next section (2.5).
The basic assumptions may be summarized as follows:

1. The number of births each year is a function of the number of women of reproductive age in the population and the average probability of each women giving birth that year (the average fertility).
2. The number of deaths each year is a number of the total number of people in the population and the probability of each person dying that year (the average mortality).
3. Average fertility depends on involuntary functions (maximum total fertility, or fecundity), voluntary factors (desire for a given number of children), and the means available for achieving the voluntary goal (fertility control effectiveness).
4. Maximum total fertility (fecundity) is limited by the same factors that limit the general health of a population, especially the availability of health services and food.
5. Average desired family size is determined in part by the prevailing social norms with regard to families and in part by the average individual’s response to those norms.
6. Any society’s familiy size norm depends upon a complex of cultural and environmental factors that influence the perceived social and economic advantages and disadvantages of childbearing. Since any change in this norm must be endorsed by the society as a whole, the social norm shifts gradually, rather than quickly, as the environment changes.
7. Individuals and families do conform to the norm expected of them by society, but only to the extend permitted by their own perceptions and expectations of their personal resources for bringing up children. These expectations may shift relatively quickly.
8. Under conditions of a high perceived child mortality, families will produce extra children beyond the number ultimately desired to compensate for the risk of losing children.
9. Effective, low-cost methods of fertility control will be developed by a society if there is perceived need for such methods and if sufficient economic resources are available to invest in developing them. In every society – even the most primitive – effective, but high-cost, fertility control methods are already available.
10. The average mortality of a population is also a function of involuntary factors, voluntary goals, and the means to attain those goals.
11. A goal of every human society is to keep its own mortality as low as possible. Therefore, there is always a recognized need for mortality control.
12. The primary mortality control methods are public health and medical technologies and improved means of food productions and distribution. All these methods also require the investment of scarce resources from the economic system.

aus: Meadows, Dennis & Donella, Dynamics of Growth in a finite World, 1974. Wright Allen Press, Cambridge, Mass., USA.

In diesem 637 Seiten füllenden Werk beschreiben die Autoren die Systemzusammenhänge, die sie ihrem Modell “Die Grenzen des Wachstums” zugrunde gelegt haben.

Nach einer Einleitung über die Modellphilosophie und methodologischen Annahmen werden die einzelnen Sektoren sehr detailiert beschrieben:

• Population Sector
• Captial Sector
• Agriculture Sector
• Nonrenewable Resource Sector
• Persistent Pollution Sector
• Simulations of the World Model
• Conclusions
• Im Anschluß werden die Wirkungsdiagramme (flow diagrams) und Differenzengleichungen (Equations) des Weltmodells angeführt.

Zur genaueren Berechnung von Bevölkerungswachstum müssen detailliertere Zusammenhänge beachet werden: Das Nettowachstum pro Jahr errechnet sich aus der Differenz der Geburten und der Sterbefälle.

Die Anzahl der Geburten ist abhängig vom Anteil der gebärfähigen Bevölkerung (weiblich) und der Anzahl der Kinder pro Frau. Starken Einfluss kann es geben, wenn sich das Gebäralter stark verändert (sozioökonomische Faktoren). Die Anzahl der Kinder pro Frau hängt wiederum von sozioökonomischen Faktoren ab, u.a. von Wohlstand, Bildung und Möglichkeit zur Berufstätigkeit der Frauen.

Die Sterblichkeit hängt ab u.a. von der medizinischen Versorgung und vom Anteil der alten Bevölkerung. So kann trotz Zunahme der Lebenserwartung die Sterberate einer Gesellschaft steigen, weil ein größerer Prozentsatz dieser Bevölkerung in einem Alter mit höherer Sterblichkeit ist.

Feinere Bevölkerungsmodelle berücksichtigen solche Zusammenhänge und versuchen, den Einfluss der wichtigsten Größen zu quantifizieren. Auf diese Weise sind sinnvolle Aussagen über Bevölkerungsentwicklungen zu treffen, immer im Bewußtsein, dass Annahmen über Einflussfaktoren getroffen wurden, die sich auch ändern können.

Arbeitsanregung

• Analysiere Daten über die Bevölkerungsentwicklung verschiedener Länder über mehrere Jahrzehnte. Berechne die jährliche Wachstumsrate für jeweils ein Jahrzehnt und überprüfe, ob sich das prozentuelle Wachstum verändert hat.
• Zeichne diese Bevölkerungsdaten in ein Koordinatensystem und überprüfe, welchem Funktionstyp das Wachstum längerfristig entspricht! Passt überhaupt ein Funktionstyp?

Das Lungenkrebsrisiko von Rauchern (20 Zigaretten pro Tag) wird in einer medizinischen Studie mit einem relativen Risiko von 38% angegeben (Nie-Raucher: ca. 1%). Der Rückgang des Risikos ehemaliger Raucher in Abhängigkeit von der Zeit seit der letzten gerauchten Zigarette zeigt einen abnehmenden exponentiellen Zusammenhang (Tabelle).

Datenbasis

1. Ermittle mit Hilfe der EXCEL-Funktion Trendlinie einfügen den Funktionsterm einer linearen Funktion sowie den Funktionsterm einer Exponentialfunktion.
2. Deute die berechneten Parameter k und d der Geradengleichung!
3. Deute die Exponentialfunktion: Um wie viel Prozent nimmt das Lungenkrebsrisiko pro Jahr seit der letzten Zigarette ab? (Anmerkung: Verwende die Darstellungen der Exponentialfunktion: f(t) = N_oe^lt bzw. f(t) = N_oa^t und berechne f(0) und f(1) mit Hilfe der erhaltenen Funktion!)