Näherungsqualität für die Exponentialfunktion

In der Startansicht sieht man die Funktion f(x) = e^x bzw. exp(x) und die zweite Taylornäherung im Entwicklungspunkt x₀ = 0. Der Entwicklungspunkt kann hier nicht verändert werden.

Die Schieberegler ermöglichen es, das dritte bis fünfte Taylorglied zu gewichten. Die für die Taylorentwicklung richtige Gewichtung wird mit einem Faktor zwischen 0 und 2 multipliziert, und das Taylorglied ist untergewichtet, wenn der Faktor kleiner als 1 ist, übergewichtet wenn größer als 1.

Die Grafik zeigt die 1., 3., 5., 7. und 17. (hellgrün) Näherungsfunktion.

Der Entwicklungspunkt kann mit dem Schieberegler in der Grafik verschoben werden, die punktierte senkrechte Linie gibt in der Grafik die Lage des Entwicklungspunktes an. In einem Intervall um diesen Entwicklungspunkt ist die Näherung halbwegs genau – je nachdem, wie groß das Intervall ist und wie viele Reihenglieder das Taylor-Polynom hat.

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Arbeitsanleitungen

• Verfolge grafisch die Näherungsfunktionen für f(x) bei Verschiebung des Entwicklungspunktes mit dem Schieberegler!
• Überprüfe (durch Nachrechnen) die jeweiligen Funktionsterme der Taylorpolynom je nach Wahl des Entwicklungspunktes!
• Mit einem Doppelklick auf den Funktionsterm links kannst du einen anderen Funktionsterm eingeben und die Analyse mit anderen Funktionen durchführen: beispielsweise mit f(x) = sin(x). Die richtigen Taylorpolynome werden automatisch berechnet.

Die Näherungsfunktionen sind nur in einem bestimmten Bereich eine gute Näherung.

Die Grundidee ist, dass man die Funktion an einer bestimmten Stelle a betrachtet und durch ihre Näherung ersetzt. An der Stelle x = a wird die Funktion einfach durch ihren Funktionswert ersetzt.

Möchte man den Trend der Funktion an der Stelle x = a zur Näherung hinzufügen, so wird die Tangente an die Funktion an dieser Stelle berechnet.

T1(x) nennt man auch Linearisierung von f an der Stelle a. Die Linearisierung ist natürlich nur in einem engen Intervall um a sinnvoll. Der Gleichungsterm entspricht umgeformt dem linearen Funktionsterm

Möchte man zum linearen Trend auch das Krümmungsverhalten bei x = a einbeziehen, so wird zur linearen Näherung noch die zweite Ableitung hinzugefügt. Die Näherungsfunktion wird dadurch etwas aussagekräftiger. Die zweite Ableitung wird mit dem Faktor 2 im Nenner gewichtet.

Zur Systematik dieser Entwicklung

Die erste Ableitung wird mit dem Term (x – a) multipliziert.
Die zweite Ableitung wird mit dem Term (x – a)² multipliziert.

Der Faktor (x – a) bedeutet, dass der Fehler der Näherung größer wird, je weiter der x-Wert von a entfernt ist. Bei x = a bleibt als Näherung genau der Funktionswert übrig. Man nennt a den Entwicklungspunkt der Taylorreihe. Der Entwicklungspunkt ist jener Punkt, in dessen Umgebung das Verhalten der Funktion sinnvoll angenähert wird. Je höher die Ableitung, umso stärker wird aufgrund der Potenz von (x – a) der Fehler wenn | x – a | > 1.

Jede Ableitung wird mit einem Faktor im Nenner gewichtet, der angibt, wie stark die jeweilige Ableitung in der Näherungsfunktion berücksichtigt wird. Die Gewichtung der n-ten Ableitung ist n!, die Gewichtung der einzelnen Ableitungen hängt mit den höheren Ableitungen der Potenzfunktion zusammen und soll hier nicht näher erklärt werden.

Je mehr Ableitungen in der Taylor-Entwicklung gebildet werden, desto genauer wird die Funktion f durch die Taylor-Entwicklung (oder Taylor-Reihe) angenähert. Die Taylor-Reihe entspricht der Funktion, wenn unendlich viele Ableitungen summiert werden:

Visualisierung

Die Grafik zeigt mehrere Taylor-Polynome für f(x) = sin(x) am Entwicklungspunkt a = 0. Die blaue Gerade ist dier erste Näherung T1(x), die grüne Funktion die kubische Näherung T3(x), etc. In der Umgebung des Entwicklungspunktes ist die Abweichung von sin(x) bereits sehr klein.

Allgemein ist eine Funktion f auch als n-tes Taylorpolynom der Funktion f mit einem Fehler (Restglied-Polynom) darstellbar:

Die Differenz zwischen Näherung und Funktion lässt sich mit Hilfe von Restglied-Polynomen Rn(x) ausdrücken. Man kann Aussagen über das Restglied-Polynom machen, das übersteigt aber bei Weitem die Mathematik der höheren Schule. Jedenfalls ist der Fehler größer, je stärker x vom Entwicklungspunkt a abweicht.

Für den Spezialfall a = 0 nennt man die Taylor-Polynome MacLaurin-Polynome oder MacLaurin-Reihe. Die MacLaurin-Reihe hat gegenüber dem allgemeinen Term der Taylor-Reihe den Vorteil des einfacheren Funktionsterms.

Wichtige Taylor- bzw. MacLaurin-Polynome

Bemerkenswert sind die MacLaurin-Reihen für folgende Funktionen:

Beachte den Zusammenhang zwischen den Polynomen für sin(x) und cos(x)!

Beachte den Zusammenhang zwischen den Polynomen für e^x und ln(x+1)!

Aus diesen paar MacLaurin-Polynomen kann man übrigens weitere interessante Ergebnisse erzielen:

1. Setzt man x = 1 in der MacLaurin-Reihe von e^x, so erhält man für den Wert der Zahl e die Reihe
   e = 1 + 1 +1/2! + 1/3! + …
2. Verwendet man für ex die MacLaurin-Reihe, so erhält man für die Funktion

   

3. Durch Ersetzen von x2 statt x erhält man die MacLaurin-Reihe

   

Startansicht
Im Zentrum der Betrachtung stehen die Kostenfunktion (schwarz, geschwungen, s-förmiger Verlauf), die Erlösfunktion (blaugrün, linear, durch das Koordinatenzentrum) und die von beiden abbhängige Gewinnfunktion G(x) = E(x) – K(x) (pink).

Der Schieberegler im Grafikbereich links oben gibt die Möglichkeit den Preis zu verändern: Ändert man den Preis, so hat das Auswirkungen auf die Erlös- und damit auf die Gewinnfunktion, die Gewinnschwellen und die Produktionsmenge für den maximalen Gewinn verändern sich.

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Arbeitsanleitung

1. Beobachte, wie sich durch Änderung des Verkaufspreises (Schieberegler) die Erlös- und die Gewinnfunktion verändert.
2. Beobachte, wie sich dabei der Gewinnbereich (G1, G2) verändert.
3. Beobachte die Auswirkungen auf die Gewinnfunktion: Wird der Preis so angesetzt, dass die Kostenfunktion von der Erlösfunktion in genau einem Punkt berührt wird, so berührt die Gewinnfunktion die x-Achse in genau einem Punkt, dem Betriebsoptimum. An dieser Stelle hat die Stückkostenfunktion ihr Minimum, das heißt, dort sind die Stückosten minimal. In diesem Fall fallen Produktionsmenge für maximalen Gewinn und für minimalen Stückkosten (als Verkaufspreis) zusammen.
4. Beobachte weiters: Bei Veränderung des Preises bleibt die Kostenfunktion gleich und damit auch die Stückkostenfunktion (blau strichliert) und die Grenzkostenfunktion (rot, dünn). Grenzkosten- und Stückkostenfunktion schneiden einander im Minimum der Stückkostenfunktion, im Betriebsoptimum.
5. Durch Doppelklick auf die Kostenfunktion im Algebra-Bereich können die Parameter der Kostenfunktion verändert werden. Die davon abhängigen Funktionen ändern sich automatisch. Auf diese Weise können Beispiel mit anderen Angaben getestet und überprüft werden.

ggb: ggb-File zum Download

Ein kubischer Kostenverlauf ist bei geringer Produktionsmenge degressiv (Kurve wird flacher, Kostenzuwachs wird weniger), bei höherer Produktionsmenge progressiv (Kurve wird steiler, Kostenzuwachs wird größer).

Die erste Ableitung der Kostenfunktion zeigt die Kostenzuwächse. Man nennt die Kostenzuwächse Grenzkosten, die erste Ableitung heißt Grenzkostenfunktion.

Der Wendepunkt der Kostenfunktion gibt Produktionsmenge an, für die die Grenzkosten (Kostenzuwachs bei Produktionsausweitung) am Geringsten sind. Diese Produktionsmenge heißt Kostenkehre.

Die Stückkostenfunktion zeigt, dass und wie die Höhe der Stückkosten von der Produktionsmenge abhängt. Die Stückkosten nehmen (in diesem Beispiel) mit zunehmender Produktionsmenge ab, ab einer bestimmten Produktionsmenge allerdings nehmen sie wieder zu.

Die Stückkosten sind wichtig, weil sie den minimalen Verkaufspreis pro Stück an geben. Bei unterschiedlichen Produktionsmengen gibt es also unterschiedliche minimale Verkaufspreise! Wenn ein Betrieb den geringstmöglichen Verkaufspreis (ohne Verlust) sucht, berechnet er das Minimum der Stückkostenfunktion. Achtung: Dieser minimale Verkaufspreis ist nur bei einer bestimmten Produktionsmenge gültig. Diese Produktionsmenge heißt Betriebsoptimum, der Verkaufspreis heißt langfristige Preisuntergrenze.

Setzt man als Preis die langfristige Preisuntergrenze in die Erlösfunktion E(x)= px ein, so erhält man eine Erlösfunktion, die die Kostenfunktion im Betriebsoptimum berührt. Das entspricht der Definition der langfristigen Preisuntergrenze als minimalem Verkaufspreis, bei dem weder Gewinn noch Verlust erzielt wird.

Die variablen Kosten sind jene Kosten, die von der Produktionsmenge abhängig sind. Mathematisch sind das jene Teile des Funktionsterms mit einem x. Dividiert man die variablen Kosten durch x, erhält man die variable Stückkostenfunktion VSTK(x). Die Produktionsmenge beim Minimum von VSTK(x) heißt Betriebsminimum, der y-Wert heißt kurzfristige Preisuntergrenze. Unter der Voraussetzung, dass andere Produkte die Fixkosten tragen, ist der Verkauf zu diesem eigentlich defizitären Preis (kurzfristig) wirtschaftlich sinnvoll.

Die Gerade durch den Fixkostenpunkt berührt die Kostenfunktion im Betriebsminimum. Das entspricht der gleiche Stelle, an der die um die Fixkosten nach unten verschobene variable Kostenfunktion von der Erlösfunktion mit der kurzfrisitgen Preisuntergrenze als Verkaufspreis berührt wird.

Interessanterweise schneidet die Grenzkostenfunktion die Stückkosten- und die variable Stückkostenfunktion in deren Minimum, also im Betriebsoptimum und im Betriebsminimum. Das kann über das Verhältnis von (variablen) Stückkosten und Grenzkosten bei Produktionsausweitung erklärt werden.

Für einen Betrieb wichtig ist noch die Produktionsmenge für den maximalen Gewinn. Setzt man in die Erlösfunktion einen höheren Preis als die langfristige Preisuntergrenze ein, so erhält man eine Erlösfunktion, die die Kostenfunktion echt schneidet und daher einen Gewinnbereich ermöglicht. Das Maximum der Gewinnfunktion liegt mengenmäßig etwas oberhalb des Betriebsoptimums.

Aufgabenstellungen zur Kostentheorie bei gegebenem Funktionsterm

Kubische Kostenfunktion

• Berechne die Kostenkehre und die Grenzkosten bei der Kostenkehre
• Berechne die Grenzkosten bei anderen Produktionsmengen (etwa 10, 20 30 ME)
• Berechne die Stückkostenfunktion, das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze.
• Berechne die Stückkosten bei anderen Produktionsmengen.
• Wie groß muss der Verkaufspreis bei einer Produktion von … ME mindestens sein?
• Berechne das Betriebsminimum und die kurzfrisitge Preisuntergrenze.
• Berechne die variablen Stückkosten bei verschiedenen Produktionsmengen.
• Wähle einen sinnvollen Verkaufspreis, bilde die Erlösfunktion und berechne die Gewinnfunktion, die Gewinnschwellen, die Produktionsmenge für den maximalen Gewinn und den maximalen Gewinn!

Quadratische bzw. lineare Kostenfunktion

• Untersuche, wie sich bei einer quadratischen (progressiven) Kostenfunktion bzw. bei linearen Kostenfunktion Grenzkosten, Stückkosten und variable Stückkosten verhalten. Was läßt sich über Kostenkehre, Betriebsoptimum und Betriebsminmum sagen?
• Was läßt sich bei quadratischen bzw. linearen Kostenfunktionen über minimalen Verkaufspreis, Erlös- und Gewinnfunktion bzw. maximalen Gewinn sagen?

Beispiele für kubische Kostenverläufe
K(x) = 0,05x³ – 3x² + 80x + 100
K(x) = 1,00x³ – 10x² + 50x + 150
K(x) = 1,00x³ – 12x² + 60x + 200

Beispiele für quadratische Kostenverläufe
K(x) = x² + 50x + 500
K(x) = x² + 40x + 400
K(x) = x² + 30x + 300

Beispiele für lineare Kostenverläufe
K(x) = 0,5x + 10
K(x) = 2,5x + 20
K(x) = 5,0x + 30

Arbeitsanleitung

1. Verändere die Lage des Punktes P auf der Funktion f(x) und beobachte, wie sich die Steigung der Tangente t (oranges Steigungsdreieck) ändert.
2. Beobachte: Mit der Steigung k verändert sich auch der y-Wert von Q. Q entsteht, indem zum x-Wert von P (x₀) die Steigung k als y-Wert aufgetragen wird.
3. Beobachte: Der Punkt Q zieht bei Veränderung von P eine Spur, die auf einer linearen Funktion liegt, sofern f(x) eine quadratische Funktion ist.
4. Durch Doppelklick auf den Funktionsterm von f(x) im Algebra-Bereich kannst du den Funktionsterm ändern und diesen Zusammenhang zwischen Steigung der Tangente t und der Spur von Q für andere Funktionsterme beobachten. Als Funktionsterme kannst du beliebige Potenzfunktionen oder Funktionen wie f(x)=sin(x) eingegeben. Beobachte dabei jeweils den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung k und y-Wert von Q.
5. Hinweis: Mit Rechtsklick auf das Zeichenblatt kannst du zoomen

ggb: ggb-File zum Download

Schiebt man A einfach auf B, dann sind yDifferenz und xDifferenz der beiden Punkte jeweils Null und die Steigung müßte mit Hilfe der Division 0/0 berechnet werden. Diesem Dilemma entgeht die Mathematik mit der Entwicklung der Grenzwertrechnung.

Um die genaue Tangentensteigung zu berechnen, berechnet man zuerst eine Folge von Näherungen (Sekantensteigungen), wobei darauf geachtet wird, dass das Intervall der x-Werte systematisch verkleinert (etwa halbiert) wird. In diesem Fall kann man beobachten, dass die Folge der Näherungssteigungen ebenfalls einer Systematik unterliegt und einem bestimmten Wert (Grenzwert) zustrebt. Die Grenzwertrechnung stellt dann die entsprechenden Regeln (Limes einer Folge) zur Verfügung.

Didaktische Anmerkung

Ich verzichte am Beginn der Differentialrechnung auf die Grenzwertrechnung, da die geometrische Ableitung von Funktionen evident genug ist und die Grenzwertrechnung vom Thema zu sehr ablenkt. Nach der Analyse von Funktionen (Funktionsdiskussion) und Anwendungen (Kostentheorie, Taylor-Näherungsfunktionen) kann ich noch gut zur Grenzwertrechnung zurückkommen.

• Die Ableitung einer linearen Funktion ist eine konstante Funktion (da die Steigung einer linearen Funktion konstant ist).
• Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist eine lineare Funktion.
• Die Ableitung einer kubischen Funktion ist eine quadratische Funktion.
• Die Ableitung einer beliebigen Potenzfunktion ist eine Potenzfunktion.
• Die Ableitung einer (einfachen) Winkelfunktion ist eine Winkelfunktion (ausgenommen Tangens).
• Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist eine Exponentialfunktion.

Wir können diese Zusammenhänge zwischen den Funktionstermen ohne Grenzwertrechnung zwar (noch) nicht rechnerisch ermitteln, aber zumindest grafisch nachvollziehen. Auch bei den Funktionstermen bleibt ein klarer und einfacher Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung bestehen.

Abbildung: kubische Funktion und Ableitung

f(x) = x³ – x² + 1 und f´(x)= 3x² -2x
Die Ableitung dieser kubischen Funktion ist eine quadtratische Funktion, auch die Funktionsterme hängen auf einfache Weise zusammen.

Skizze: Winkelfunktion und Ableitung
Skizze: Exponentialfunktion und Ableitung

f(x) = kx+d, dann ist f’(x) = k (das ist ja die Steigung der Geraden)
f(x) = sin(x), dann ist f’(x) = cos(x)
f(x) = cos(x), dann ist f’(x) = sin(x)
f(x) = exp(x), dann ist f’(x) = exp(x)

Die Grundidee der Differentialrechnung ist die Untersuchung des Veränderungsverhaltens einer Funktion: Wie stark steigt/fällt ein Funktionsgraf, wo ist ein Maximum oder ein Minimum, wo liegt eine Trendwende vor?

Gemessen wird der Grad der Veränderung mit Hilfe der Steigung der Tangente an einer bestimmten Stelle der Funktion x_o. Steigt die Funktion in einem Bereich stärker/schwächer, ist die Tangentensteigung dort größer/kleiner. Fällt eine Funktion (gelesen von inks nach rechts), dann sind die Tangentensteigungen negativ.

Wir könnten jetzt für jeden Punkt einer Funktion die Tangentensteigung ermitteln: Die einzelnen Tangentensteigungen zeichnen wir in das Diagramm, sie liegen auf einer Funktion, der Tangentensteigungsfunktion. Diese Funktion nennt man 1. Ableitung von f(x): f’(x). Die 1. Ableitung repräsentiert also die Tangentensteigungen von f(x) in jedem Punkt.

Die erste Ableitung als Tangentensteigungsfunktion

Kommentar zur Abbildung

• An der Stelle x=1 wird im Punkt A auf der Funktion die Tangente an die Funktion f (rot) gebildet, diese hat die Steigung -1.35.
• Dieser Wert wird an der x-Stelle 1 als y-Wert einer neuen Funktion, der Tangentensteigungsfunktion bzw. ersten Ableitung von f, aufgetragen (Punkt B).
• Ermittelt man jetzt mehrere solcher Tangentensteigungen für andere x-Stellen, so liegen die Steigungen auf der ersten Ableitung (blau).